模糊综合评价

模糊集理论及其应用陈水利第五章模糊线性变换与模糊综合评判1第五章模糊线性变换与模糊综合评判5.1模糊线性变换(P3)5.2一级模糊综合评判(P4~23)5.3多级模糊综合评判(P24~51)5.4因素重要程度模糊集的确定方法(P52~90)5.5模糊综合评判的C语言程序2§5.1模糊线性变换5.1.1基本概念定义5.1.1设U,V为两个论域,{Ai|iI}F(U),这里I为任意指标集,若T:F(U)→F(V)满足T(∪iIiAi)=∪iIiT(Ai)则称T为模糊线性变换,其中iI,i[0,1].例如:设AF(U),RF(U×V),则如下定义的模糊映射TR:F(U)→F(V)ATR(A)=A◦R是一个模糊线性变换,这是因为模糊关系的合成运算满足保并性,我们称TR为由R导出的,从U到V的模糊线性变换,其中TR(A)的隶属函数为TR(A)(v)=∨uU(A(u)∧R(u,v)),vV3目录例如:U={u1,u2,u3,u4},V=={v1,v2,v3},则对U上的模糊集合A=(0.6,0.3,0.9,0.5)以及U到V的关系0.50.20.80.70.80.30.40.50.710.600.50.20.80.70.80.3()(0.6,0.3,0.9,0.5)0.40.50.710.60(0.5,0.5,0.7)RRTA有4由上述例题可见，给定RF(U×V),可以唯一确定一个从Ｕ到Ｖ的模糊线性变换TR。反之，给定一个从Ｕ到Ｖ的模糊线性变换T，也存在唯一的ＲF(U×V),使得TR=T。因此模糊关系与模糊线性变换是一一对应的。有时可以把R称为模糊线性变换。模糊线性变换TR有直观的几何解释，如图5.1.1，设ＲP(U×V),将TR限制在P(U)上，则TR为从P(U)到P(V)的普通集合的线性变换，可以证明AP(U)有TR(A)=((A×V)∩R)V56事实上，vV，有((A×V)∩R)V(v)=∨uU(A×V)∩R)(u,v),=∨uU(A(u)∧V(v)∧R(u,v)),=∨uU(A(u)∧R(u,v)),(因为V(v)=1)=TR(A)(v)这说明:TR(A)就是普通关系(A×V)∩R在V中的投影.7定理5.1.1设ＲF(U×V),TR为R导出的模糊线性变换，则AF(U),有(1)TR(A)=((A×V)∩R)V(2)TR(A)=∪[0,1]TR(A)89证明(1)的证明与式(5.1.3)方式完全一致.(2)根据分解定理1和2，有TR(A)=∪[0,1]TR(A)TR(A)=∪[0,1]TR(A)s只要能证明[0,1]，有TR(A)sTR(A)TR(A)则由分解定理3，可得到结论.一方面，由TR(A)=((A×V)∩R)V，vTR(A),存在uU，使(u,v)(A×V)∩R从而有,(,)()(,)()()(()(,))()()()()(()(,))',(')(',)(',)()(',)()()RuURRsRuUssRuAuvRAuRuvTAvAuRuvvTAvTATAvAuRuvuUAuRuvuvAVRuvAVRvTA且另一方面，使10§5.2一级模糊综合评判5.2.1基本思想与评价步骤1.基本思想:利用模糊线性变换原理和最大隶属度原则,考虑与被评价事物相关的各个因素,对其作出合理的综合评价.2.评价步骤:设与被评价事物相关的因素集为U={u1,u2,…,um}而评语集为V={v1,v2,…,vn}11目录12(1)单因素评价f:U→F(V)ui├→f(ui)=ri=(ri1,ri2,…,rin),(i=1,2,…,m)其中rij为关于因素ui具有评语vj的程度.(2)构造模糊综合评判矩阵mnmmnnmrrrrrrrrrrrrR21222211121121(3)确定因素重要程度模糊集A=(a1,a2,…,an)其中ai为因素ui(i=1,2,…,m)在总评价中的重要程度.(4)确定评价模型,求出模糊综合评价集B=AR=(b1,b2,…,bn)其中表示广义模糊合成运算,记作,即13,ˆM1122ˆˆˆ...,(1,2,...,)ˆ“”“”“”“”jjjmmjbarararjn这里表示广义模糊与运算，表示模糊或运算目录(5)综合评判根据最大隶属度原则,选择模糊综合评价集B=(b1,b2,…,bn)中最大的bj所对应的等级(评语)vj作为综合评判的结果.显然,模型不是唯一的,下面介绍几个常用的模型.,ˆM145.2.2几种常见的评判模型1511111.2(,):,1,2,...,.(,):,1,2,...,.,1,2,...,.,1,2,..(,)3...(1)(2.)(,),imjiijimjiijimjiijimajijiMbarjnMbarjnbarjnbMnMrj主因素突出型加权平均型：全面制约型乘幂：目录16111001min{1,},1,2,...,.4.(,)5,1,2,...,,..(,)mmjiijiijiimijjiimkjkbararjnrbajnrrMrM取小上界和型：均衡平均型：例5.2.1考虑对教师的教学质量评估问题。设与教学质量相关的因素，教材熟练程度，逻辑性程度，启发性程度，生动有趣性程度和板书整洁程度等5个因素，而评语分为优秀、良好、一般和不好4种。试用综合评判模型M(∧,∨)对某教师的教学质量进行评估。解设因素集为U={教材熟练程度u1，逻辑性程度u2，启发性程度u3，生动有趣性程度u4，板书整洁程度u5}评语集为{优秀v1,良好v2,一般v3,不好v4}1718(1)单因素评价对U中每一因素ui(i=1,2,3,4,5)进行评价，如通过专家评估打分的方式对某教授授课的各个因素进行评价，结果如下f(u1)=(0.45,0.25,0.20,0.10)f(u2)=(0.50,0.40,0.10,0)f(u3)=(0.30,0.40,0.20,0.10)f(u4)=(0.40,0.40,0.10,0.10)f(u5)=(0.30,0.50,0.10,0.10)(2)构造综合评判矩阵如上，将个单因素评价集作为行构成矩阵0.450.250.200.100.50.0400.1000.300.400.200.100.400.400.100.100.300.500.100.10R1920(3)确定因素重要程度模糊集合设u1，u2，u3，u4，u5，这5个因素在教学质量评估中所占的比例分为30%，20%，20%，20%，10%，从而得到U上的因素重要程度模糊集为A=(0.30,0.20,0.20,0.20,0.10)(4)确定综合评判模型，求出模糊综合评价集选用模型M(∧,∨)，由式(5.2.3)得到模糊评价集为B=A*R=(0.30，0.25，0.20，0.10)(5)综合评判因为B(v1)=0.30=max{0.30，0.25，0.20，0.10}所以由最大隶属度原则，认为该教师的教学质量为“优秀”其他几种评判模型包括加权平均型，全面制约型，取小上界和型和均衡平均型主要区别是构造bj的计算公式，针对不同的问题可以选择不同的模型进行评价。2122注5.2.1上述各种模型的比较和适用范围(1)模型M(∧,∨)为主因素突出型的综合评判，其评判结果往往取决月在总评价中占主要作用的那个因素，此模型比较适用于单项评判最优就能作为综合评判最优的情况。(2)模型M(•,∨)也是主因素突出型的综合评判，它与模型M(∧,∨)相近，但更精细些，不仅突出了主因素，也兼顾了其他因素，此模型适用于M(∧,∨)失去作用，需要“加细”的情况。(3)模型M(•,+)为加权平均型的综合评判，依权重的大小对所有因素均衡兼顾，比较适合求总数最大的情形。(4)模型M(∧,⊕)也是属于主因素突出型的综合评判，比模型M(∧,∨)也精细些，此模型的评价结果也是和ai的取值有很大的关系。(5)模型M(乘幂,∧)为次因素突出型的综合评判，ai没有权重系数的意义，通常取[0，1]中的有理数。(6)模型M(∧,+)适用于R中元素偏大或者偏小的情形。在实际应用过程中，选用哪种模型比较合适，要根据具体问题的需要而定。23§5.3多级模糊综合评判当欲评判的系统复杂或影响因素较多时，仅由一级模型进行评判往往显得比较粗糙，不能很好的反映事物的本质。因此，本节将从3个方面加以改进。5.3.1二级指标模糊综合评判具体步骤如下：设因素集为U={u1,u2,…,um},评语集为V={v1,v2,…,vn}。2425(1)从各种不同的角度出发，选择一些有代表性的模型分别进行一级综合评判，所得到的评价集合分别为A*1R=B1=(b11,b12,…,b1n),A*2R=B2=(b21,b22,…,b2n),…A*sR=Bs=(bs1,bs2,…,bsn),(2)由于仅仅由B1,B2,…,Bs之一作为评判指标，可能有片面性，故把他们综合起来作为二级评判指标,记为U0={B1,B2,…,Bs}称之为二级评判指标集。26设U0的各指标Bi(i=1,2,…,s)权重分配为A0=(a1,a2,…,as)这里ai≥0且a1+a2+…+as=1，以B1,B2,…,Bs为作为行构成二级评判矩阵111121221222012nnssssnBbbbBbbbRBbbb(3)进行二级指标模糊综合评判对A0和R0采用加权模型M(•,+)进行二级综合评判，即B=A0•R0=(b1,b2,…,bn),其中根据最大隶属度原则，最大的bj值对应的等级(评语)vj就是所要求的最佳评判结果。1sjiijibabjn，=1,2,...,27例5.3.1利用二级指标模糊综合评判方法评价教师教学质量问题解(1)选用模型M(•,∨)，M(∧,∨)，M(∧,⊕)，M(乘幂,∧)进行一级综合评判，由例5.2.3~5.2.5可得到综合评判集分别为：B1=(0.300，0.250，0.200，0.100)B2=(0.405，0.365，0.150，0.080)B3=(0.786，0.660，0.617，0)B4=(1，0.950，0.700，0.400)2829(2)设二级综合评判指标集为U0={B1,B2,B3,B4}各项指标权重分配为：A0=(0.2，0.3，0.3，0.2)二级综合评判矩阵为120340.3000.2500.2000.1000.4050.3650.1500.0800.7860.6600.617010.9500.7000.400BBRBB(3)根据加权平均模型M(•,+)得二级模糊综合评价集为B=A0•R0=(0.617,0.548,0.410,0.124)因为B(v1)=0.617=max{0.617,0.548,0.410,0.124}所以由最大隶属度原则知，该教师的教学质量为“优秀”。30315.3.2多层次模糊综合评判当因素集U的元素较多的时候，每个因素的重要程度系数也就相对较小，这时系统之中的优劣次序难以分开，从而得不到有意义的评判结果，对于这种情况，我们可以把因素集U中的某些元素按某些属性分成几类，先对每一类(因素较少)做评判，再对各个结果进行“类”元素的高层次综合评判，具体如下：设因素集为U={u1,u2,…,um},评语集为V={v1,v2,…,vn}321.划分因素集U因素集的一个划分U={U1,U2,…,UN},满足下面