实对称矩阵的对角化

第三节实对称矩阵的对角化对称矩阵的性质利用正交矩阵将实对称矩阵对角化的方法定理1对称矩阵的特征值为实数.证明,,对应的特征向量为复向量的特征值为对称矩阵设复数xA.0,xxAx即,的表示用共轭复数xAxA则.xxAx一、对称矩阵的性质,的表示xx共轭复向量于是有AxxTAxxT及AxxTxxT,xxTxAxTTxxATxxT.xxT两式相减，得.0xxT,0x但因为,0,即.是实数由此可得,0121niiniiiTxxxxx所以定理1的意义.,0,0)(,以取实向量从而对应的特征向量可系知必有实的基础解由是实系数方程组线性方程组所以齐次为实数的特征值由于对称矩阵EAxEAAiii.,,,,,221212121正交与则若是对应的特征向量的两个特征值是对称矩阵设定理ppppA证明,,,21222111AppApp,,AAAT对称TTTAppp11111,11ApApTTT于是22121211ppAppppTTT,212ppT.02121ppT,21.21正交与即pp.021ppT.,,,41素的对角矩阵个特征值为对角元的是以其中使则必有正交矩阵阶对称矩阵为设定理nAAPPPnA证明,,,,21s它们的重数依次为srrr,,,21.,)(,,3个线性无关的特征向量恰有对应特征值从而的秩则矩阵重根的特征方程的是阶对称矩阵为设定理rrnEAREArAnA).(21nrrrs根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定理3(如上)可得：设的互不相等的特征值为A,21知由nrrrs由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交，.,,),,,2,1(单位正交的特征向量个即得把它们正交化并单位化关的实特征向量个线性无恰有对应特征值rrsiiiiPPAPP11.,,,11个特征值的是恰个个的对角元素含其中对角矩阵nArrss这样的特征向量共可得个.n故这个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵，则P根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量正交化;3.将特征向量单位化.4.2.;,0的特征向量求出由AxEAi1.;的特征值求A解20212022EA2140.2,1,4321得,020212022)1(A310130004)2(A例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.APP1P(1)第一步求的特征值A的特征向量求出由第二步AxEAi,0得由对,04,41xEA04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系.1221得由对,0,12xEA0202202323121xxxxxx解之得基础解系.2122得由对,02,23xEA02202320243232121xxxxxxx解之得基础解系.2213第三步将特征向量正交化.,,,3,,321321故它们必两两正交的特征向量个不同特征值的是属于由于A第四步将特征向量单位化,1,2,3.iiiixhx==令,3132321得,3231322.3232313,22121212231,,321P作.2000100041APP则310130004)2(A310130004EA,422.4,2321得特征值得基础解系由对,02,21xEA1101得基础解系由对,04,432xEA.110,00132,32恰好正交与.,,321两两正交所以()123,,,1,2,3iiiixxxxhx==再将单位化令得,212101,0012.212103于是得正交阵2102121021010,,321P.4000400021APP则1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．