函数图像的切线问题

高二数学学案编号1函数图像的切线问题要点梳理归纳1.求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1)已知切点P(x0，f(x0))，求y＝f(x)在点P处的切线方程：切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求y＝f(x)的切线方程：设切点为P(x0，y0)，利用导数将切线方程表示为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再将A(s,t)代入求出x0.2．两个函数图像的公切线函数y=f(x)与函数y=g(x)存在公切线，若切点为同一点P(x0，y0)，则有f′x0＝g′x0，fx0＝gx0.若切点分别为(x1,f(x1)),(x2,g(x2)),则有212121)()()()(xxxgxfxgxf.题型分类解析题型一已知切线经过的点求切线方程例1.求过点(2,2)P与已知曲线3:3Syxx相切的切线方程.解：点P不在曲线S上.设切点的坐标00,xy，则30003yxx，函数的导数为2'33yx，切线的斜率为020'33xxkyx，2000(33)()yyxxx切线方程为，点(2,2)P在切线上，20002(33)(2)yxx，又30003yxx，二者联立高二数学学案编号2可得001,13,xx或相应的斜率为0k或963k切线方程为2y或963(2)2yx.例2.设函数2fxgxx，曲线ygx在点1,1g处的切线方程为21yx，则曲线yfx在点1,1f处的切线方程为________解析：由切线过1,1g可得：13g，所以21114fg，另一方面，'12g，且''2fxgxx，所以''1124fg，从而切线方程为：4414yxyx例3.已知直线1ykx与曲线3yxaxb切于点(1,3)，则b的值为_________解析：代入(1,3)可得：2k，'23fxxa，所以有'113132fabfa，解得13ab题型二已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例4.已知函数ln2fxxx，则：（1）在曲线fx上是否存在一点，在该点处的切线与直线420xy平行（2）在曲线fx上是否存在一点，在该点处的切线与直线30xy垂直解：设切点坐标为00,xy'0012fxx由切线与420xy平行可得：'00011242fxxx011ln122yf高二数学学案编号3切线方程为：11ln244ln212yxyx（2）设切点坐标00,xy'0012fxx，直线30xy的斜率为1'00011213fxxx而00,x013x不在定义域中，舍去不存在一点，使得该点处的切线与直线30xy垂直例5.函数2lnfxaxbx上一点2,2Pf处的切线方程为32ln22yx，求,ab的值思路：本题中求,ab的值，考虑寻找两个等量条件进行求解，P在直线32ln22yx上，322ln222ln24y，即2=2ln24f，得到,ab的一个等量关系，在从切线斜率中得到2x的导数值，进而得到,ab的另一个等量关系，从而求出,ab解：P在32ln22yx上，2322ln222ln24f2ln242ln24fab又因为P处的切线斜率为3'2afxbxx'2432afb,ln242ln2421432abaabb例6.设函数32910fxxaxxa，若曲线yfx的斜率最小的切线与直高二数学学案编号4线126xy平行，求a的值思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为12，进而可得导函数的最小值为12，便可求出a的值解：2'2222221111329393939333fxxaxxaaaxaa'2min11933fxfaa直线126xy的斜率为12，依题意可得：2191233aa0a3a题型三公切线问题例7.若存在过点(1,0)的直线与曲线3yx和21594yaxx都相切,则a等于()A.1或2564B.1或214C.74或2564D.74或7思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线21594yaxx含有参数，所以考虑先从常系数的曲线3yx入手求出切线方程，再考虑在利用切线与曲线21594yaxx求出a的值.设过1,0的直线与曲线3yx切于点300,xx,切线方程为320003yxxxx，即230032yxxx，因为1,0在切线上，所以解得：00x或032x，即切点坐标为0,0或327,28.当切点0,0时，由0y与21594yaxx相切可得高二数学学案编号521525490464aa，同理，切点为327,28解得1a答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与21594yaxx求a的过程中，由于曲线21594yaxx为抛物线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的0来求解，减少了运算量.通过例7，例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线）例8.若曲线21xyC：与曲线xaeyC：2存在公切线，则a的最值情况为（）A．最大值为28eB．最大值为24eC．最小值为28eD．最小值为24e解析：设公切线与曲线1C切于点211,xx，与曲线2C切于点22,xxae，由''2xyxyae可得：22211212xxaexxaexx，所以有221111221122222xxxxxxxxxae，所以2244xaex，即2241xxae，设41xxfxe，则'42xxfxe.可知fx在1,2单调递增，在2,单调递减，所以max242afe高二数学学案编号62422201816141210864224683025201510551015202530ae^xx^2a2422201816141210864224683025201510551015202530ae^xx^2la121086422468101220151055101520O题型四切线方程的应用例9.已知直线ykx与曲线lnyx有公共点，则k的最大值为.解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时，k取得最大值.设切点坐标为00,xy，则00lnyx，1'yx001'xxyx，切线方程为0001ln()yxxxx，原点在切线上，0ln1x，0xe斜率的最大值为1e.例10.曲线xye在点22,e处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A.2eB.22eC.24eD.22e思路：'xfxe由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程'22fe所以切线方程为：222yeex即220exye，与两坐标轴的交点坐标为21,00,e221122eSe例11.一点P在曲线323yxx上移动，设点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是()．A.0,2B.30,,24C.3,4D.3,24高二数学学案编号7思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来.'231yx，对于曲线上任意一点P，斜率的范围即为导函数的值域：'2=311,yx，所以倾斜角的范围是30,,24.答案：B例12.已知函数323fxxx，若过点1,Pt存在3条直线与曲线yfx相切，求t的取值范围思路：由于并不知道3条切线中是否存在以P为切点的切线，所以考虑先设切点00,xy，切线斜率为k，则满足3000'2002363yxxkfxx，所以切线方程为00yykxx，即3200002363yxxxxx，代入1,Pt化简可得：3200463txx，所以若存在3条切线，则等价于方程3200463txx有三个解，即yt与32463gxxx有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标00,xy，切线斜率为k，则有：3000'2002363yxxkfxx切线方程为：3200002363yxxxxx因为切线过1,Pt，所以将1,Pt代入直线方程可得：32000023631txxxx23000063123txxxx233320000000636323463xxxxxxx高二数学学案编号8所以问题等价于方程3200463txx，令32463gxxx即直线yt与32463gxxx有三个不同交点'21212121gxxxxx令'0gx解得01x所以gx在,0,1,单调递减，在0,1单调递增11,03gxggxg极大值极小值所以若有三个交点，则3,1t所以当3,1t时，过点1,Pt存在3条直线与曲线yfx相切例13.已知曲线C:x2=y，P为曲线C上横坐标为1的点，过P作斜率为k(k≠0)的直线交C于另一点Q，交x轴于M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出K的值，若不存在，说明理由.思路：本题描述的过程较多，可以一步步的拆解分析.点1,1P，则可求出:1PQykxk，从而与抛物线方程联立可解得21,1Qkk，以及M点坐标，从而可写出QN的方程，再与抛物线联立得到N点坐标.如果从,MN坐标入手得到MN方程，再根据相切0求k，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于N为切点，考虑抛物线2xy本身也可视为函数2yx，从而可以N为入手点先求出切线，再利用切线过M代入M点坐标求k，计算量会相对小些.解：由P在抛物线上，且P的横坐标为1可解得1,1P设:11PQykx化简可得：1ykxk1,0kMk高二数学学案编号921yxykxk消去y：210xkxk121,1xxk21,1Qkk设直线21:11QNykxkk即2111ykxkk联立方程：22111yxykxkk211110