1中考专题训练——圆综合部分例1.AB为圆的直径,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AC。(1)求证:DE是圆O的切线。(2)若35ACAB,求AFDF的值。例2.已知:Rt△ABC,AC为直径,OE∥AB,(1)求证:DE是圆O的切线。(2)若圆O的半径为3,ED=4,求△ADF的面积。例3.已知:等腰△ABC中,AC=BC=10,AB=12,BC为直径,DF⊥AC。(1)求证:EF是圆O的切线。(2)求sin∠E。(一)圆的有关性质1、如图,已知圆O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E点,过C点作CG∥AD,交AB的延长线于点G连OD,且OD恰好平分∠ADC。(1)试问:CG是圆O的切线吗?请说明理由。(2)请证明:E是OB的中点:(3)若AB=8,求CD的长。2、如图,△ABC内接于圆O,过点A的直线交圆O于点P,交BC的延长线于点D,AB2=AP·AD。(1)求证:AB=AC(2)如果∠ABC=60°,圆O的半径为l,且P为弧AC的中点,求线段AD的长。3、如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,圆O经过A、B、D三点,CB的延长线交圆O于E。(1)求证:AE=CE;(2)EF与圆O相切于点E,交AC的延长线于点F,若CD=CF=2cm。求圆O的直径。4、如图,已知圆O的直径AB=2,直线m与圆O相切于点A,P为圆O上一动点(与点A、点B不重合),PO的延长线与圆O相交于点C,过点C的切线与直线m相交于点D。(1)求证:△APC~△COD。(2)设AP=x,OD=y,试用含x的代数式表示y。(3)试探究x为何值时,△ACD是一个等边三角形。5、如图,在半径为4的圆O中,AB、CD是两条直径,M为0B的中点,CM的延长线交圆O于点E,且EMMC,连结DE,DE=15;(1)求证:AM·MB=EM·MC(2)求EM的长(3)求sin∠EOB的值6、如图,AB为圆O的一条直径,D为弧AB的中点,点C在直径AB的另一半圆弧上,弦CD交∠BAC的角平分线于O。(1)求证:①DA=DO;②01D=2OA:(2)过01作QM⊥AB于M,试探究线段O1M+OA与CD之间是否存在确定的数量关系?并给予证明。(二)圆与全等三角形1、如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,AB为直径,∠ABC=30°,CD是圆O的切线,DF⊥AB于F,交AC的延长线于E。(1)判断△DCE的形状;(2)设圆O的半径为1,且312OF,求证:△DCE≌△OCB。2、如图,在圆O中,∠BAC=120°,弦PA平分∠BAC。(1)求证:△PBC为正三角形;(2)求ABACPA的值。3、如图,已知:弦AB⊥CE,N在弦MA的延长线上,且∠CAN=∠CAB,AD=2,求AB—AM的值。24、如图,AB为圆O的直径,CD⊥AB,垂足为D,弧AC=弧CE。(1)求证:AF=CF:(2)若圆O的半径为5,AE=8,求EF的长。(三)切线与相似三角形一、求线段的比值1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点0在AB上,以0为圆心,0A为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A。(1)判断BD与圆O的位置关系,并证明你的结论。(2)若AD:AO=8:5,BC=2,求BD的长。2、如图,Rt△ABC中,已知,∠ACB=90°,BC=6,AB=10,以BC为直径作圆O交AB于D,AC、D0的延长线交于E,点M为线段AC上一点,且CM=4。(1)求证:直线DM是圆O的切线。(2)求tan∠E的值。3、如图,圆O1与圆O2内切于点P,且圆O1过点02,PB为圆O2的直径,A为圆O2上一点,连AB,过0l作0lC⊥BA于C点,连C02,已知PA=43,PB=4。(1)求证:AB为圆Ol的切线。(2)求tan∠BC02的值。4、如图,在圆O中,弧DC等于弧DN,点P为圆O上一点,过D作CN的平行线交PN、PC的延长线于A、B两点,过P作PM∥AB交DC的延长线于点M。(1)求证:AB为圆O的切线。(2)若PN=3AN,CD=4,求PDDM的值。求线段的长度1、如图,直线MN交00于A、B两点,AC是直径。AD平分∠CAM,交00于D,过D作DE⊥MN于E点。(1)求证:DE是圆O的切线(2)若DE=6cm,AE=3cm,求圆O的半径。2、如图,已知AB=AC,点0在AB上,圆O过点B,分别与边BC、AB交于D、E两点,过D点作DF⊥AC,垂足为F。(1)判断DF与圆O的位置关系,并证明。(2)若AC与圆O相切于点G,圆O的半径为3,CF=1,①求BD的长;②求AC的长。3、如图,AB为圆O的直径,C点在圆O上,弧AE=弧EC,PE∥AC。(1)求证:PE为圆O的切线。(2)若AB=15,PE=10,求CD的长。4、如图,已知圆O的半径为6cm,射线PM经过点0,OP=lOcm,射线PN与圆O相切于点Q,A、B两点同时从点P出发,点A以5cm/s的速度沿射线PM方向运动,点B以4cm/s的速度沿射线PN方向运动,设运动时间为ts。(1)求PQ的长。(2)当t为何值时,直线AB与圆O相切?三、求面积1、如图,直线AB经过圆O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,00交直线0B于E、D,连EC、CD。(1)求证:直线AB是圆O的切线(2)试猜想线段BC、BD、BE三者之间的数量关系,并加以证明。3(3)若tan∠CED=12,圆O的半径为3,求OABS的面积。2、如图,△ABC中,∠BAC=90,以AB为直径作圆O交BC于E点,过E点作圆O的切线交AC于点D。(1)求证:AD=CD(2)连BD交0E于F点,若AB=1O,OF=2,求ABCS。3、如图,点D是圆O的直径CA延长线上一点,点B在圆O上,且AB=AD=A0。(1)求证:BD是圆O的切线。(2)若点E是弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为8,COS∠BFA=23,求△ACF的面积。(四)圆与切线一、切线与三角函数1、如图,CD为圆O的直径,弦AB⊥CD于点H,DM交AB于点N,延长AB到P,PM=PN,直线PM与C0交于点Q。(1)求证:PM是圆O的切线。(2)若AB=CH=8,∠P=60°,求tan∠OPA的值。2、如图,已知点0是Rt△ABC的直角边AC上一动点,以0为圆心,OA为半径的圆O交AB于D点,DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。(1)连结DF,请你判断直线DF与圆O的位置关系,并证明你的结论。(2)当点0运动到0A=20C时,恰好有点D是AE的中点,求tan∠B。3、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,以AB上一点O为圆心,过B、D两点作圆O,圆O交AB于点E,EF⊥AC于点F。(1)求证:圆O与AC相切;(2)若EF=2,BC=4,求tan∠A的值。4、如图,等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,交BC于点D,DE⊥AC于点E。(1)求证:DE为圆O的切线;(2)若BC=45,AE=l,求cos∠AE0的值。5、如图,Rt△ABC,∠ABC=90°,以AB为直径作圆O交AC于点D,弧BD=弧DE,DF⊥AE于F。(1)求证:DF为圆O的切线;(2)若DF=3,圆O的半径为5,求tan∠BAC的值。二、切线与勾股定理1、如图,已知圆O是△ABC的外接圆,AB是圆O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥CD交DC的延长线于E,CF⊥AB于点F,且CE=CF。(1)求证:DE是圆O的切线。(2)若AB=6,BD=3,求AE和BC的长。2、如图,AB、AC分别是圆O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE⊥AB于点H,交OO于点E,交AC于点F。P为ED延长线上一点,连PC。(1)若PC与圆O相切,判断△PCF的形状,并证明。(2)若D为弧AC的中点,且35BCAB,DH=8,求圆O的半径。3、如图,AB、BC、CD分别与圆O相切于E、F、G,且AB∥CD,连接0B、0C,延长C0交圆O于点M,过点M作MN∥OB交CD于N。(1)求证:MN是圆O的切线。(2)当OB=6cm,OC=8cm时,求圆O的半径及MN的长。4、如图,AB为圆O的直径,PQ与圆O相切于T,过A点作AC⊥PQ于C点,交圆O于D点。(1)求证:AT平分∠BAC(2)若AD=2,TC=3,求圆O的半径。