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根据二次函数的图象确定字母系数以及代数式的符号或数值1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－1所示，则下列关系式错误．．的是()A．a＞0B．c＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＞0图4－ZT－12．[2016·枣庄]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－2所示，给出以下四个结论：①abc＝0；②a＋b＋c＞0；③a＞b；④4ac－b2＜0.其中正确的结论有()图4－ZT－2A．1个B．2个C．3个D．4个3．[2016·日照]如图4－ZT－3是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为直线x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－32，y1)，(103，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2.其中结论正确的是()A．①②B．②③C．②④D．①③④图4－ZT－34．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，2)，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图4－ZT－4所示，有以下结论：①b2－4ac＜0；②a＋b＋c＜0；③c－a＝0；④一元二次方程ax2＋bx＋c－2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有()图4－ZT－4A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，1)和(－1，0)．下列结论：①a－b＋c＝0；②b2＞4ac；③当a＜0时，抛物线与x轴必有一个交点在点(1，0)的右侧；④抛物线的对称轴为直线x＝－14a.其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个6．函数y＝x2＋bx＋c与y＝x的图象如图4－ZT－5所示，有以下结论：①b2－4c0；②b＋c＋1＝0；③3b＋c＋6＝0；④当1x3时，x2＋(b－1)x＋c0.其中正确的结论有()图4－ZT－5A．1个B．2个C．3个D．4个7．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1x2，图象上有一点M(x0，y0)在x轴下方，则下列判断正确的是()A．a0B．b2－4ac≥0C．x1x0x2D．a(x0－x1)(x0－x2)08．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－6所示，下列五个代数式ab，ac，a－b＋c，b2－4ac，2a＋b中，值大于0的有()A．5个B．4个C．3个D．2个图4－ZT－69．[2015·包头]如图4－ZT－7，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)．有下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a＋b＜0；③－1≤a≤－23；④4ac－b2＞8a.其中正确的结论是()图4－ZT－7A．①③④B．①②③C．①②④D．①②③④10．某国家足球队在某次训练中，一名队员在距离球门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y＝ax2＋bx＋c(如图4－ZT－8)，有下列结论：①a－160；②－160a0；③a－b＋c0；④ab－12a.其中正确的是()A．①③B．①④C．②③D．②④图4－ZT－811.如图4－ZT－9，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：①abc0；②b2－4ac4a0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确的结论有()图4－ZT－9A．4个B．3个C．2个D．1个12．[2015·日照]如图4－ZT－10是二次函数y1＝ax2＋bx＋c图象的一部分，抛物线的顶点为A(1，3)，与x轴的一个交点为B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点．有下列结论：①2a＋b＝0；②abc＞0；③方程ax2＋bx＋c＝3(a≠0)有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(－1，0)；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1.其中正确的是()A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤图4－ZT－1013．如图4－ZT－11，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)，且与y轴交于负半轴．有以下四个结论：①abc0；②2a＋b0；③a＋c＝1，④a1.其中正确结论的序号是__________．图4－ZT－1114．[2015·岳阳]如图4－ZT－12，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b＞0；②a－b＋c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.图4－ZT－1215．[2016·内江]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－13所示，且P＝|2a＋b|＋|3b－2c|，Q＝|2a－b|－|3b＋2c|，则P，Q的大小关系是__________．图4－ZT－1316．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－14所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．图4－ZT－14详解详析1．[答案]D2．[解析]C∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，∴c＝0，∴abc＝0，∴①正确．∵当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，∴②不正确．∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴是直线x＝－32，∴－b2a＝－32，b＜0，∴b＝3a.又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确．∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2－4ac＞0，∴4ac－b2＜0，∴④正确．综上，可得正确结论有3个：①③④.故选C.3．[解析]C∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴b＝－2a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误．∵b＝－2a，∴2a＋b＝0，所以②正确．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3，0)，∴当x＝2时，y＞0，∴4a＋2b＋c＞0，所以③错误．∵点(－32，y1)到对称轴的距离比点(103，y2)到对称轴的距离远，∴y1＜y2，所以④正确．故选C.4．[答案]B5．[解析]B∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，∴a－b＋c＝0，故①正确；∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，1)，∴a＋b＋c＝1.又∵a－b＋c＝0，两式相加，得2(a＋c)＝1，a＋c＝12，两式相减，得2b＝1，b＝12.∵b2－4ac＝14－4a(12－a)＝14－2a＋4a2＝(2a－12)2，当2a－12＝0，即a＝14时，b2－4ac＝0，故②错误；当a＜0时，∵b2－4ac＝(2a－12)2＞0，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，设另一个交点的横坐标为x，则－1·x＝ca＝12－aa＝12a－1，∴x＝1－12a.∵a＜0，∴－12a＞0，∴x＝1－12a＞1，即抛物线与x轴必有一个交点在点(1，0)的右侧，故③正确；抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝－122a＝－14a，故④正确．6．[答案]B7．[答案]D8．[解析]C观察图象可知a0，c0，－b2a0，∴b0，∴2a＋b0，ab0，ac0.当x＝－1时，y0，即a－b＋c0.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac0.因此在所给代数式中，值大于0的有3个．9．[解析]B①由抛物线的对称性可求得抛物线与x轴另一个交点的坐标为(3，0)，当x＞3时，y＜0，故①正确；②∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵x＝－b2a＝1，∴b＝－2a，∴3a＋b＝3a－2a＝a＜0，故②正确；③设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，则y＝ax2－2ax－3a，令x＝0，得y＝－3a.∵抛物线与y轴的交点B在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，∴2≤－3a≤3.解得－1≤a≤－23，故③正确；④∵抛物线与y轴的交点B在点(0，2)和(0，3)之间(包括这两点)，∴2≤c≤3.由4ac－b2＞8a，得4ac－8a＞b2.∵a＜0，∴c－2＜b24a，∴c－2＜0，∴c＜2，与2≤c≤3矛盾，故④错误．故选B.10．[解析]B用排除法判定．易知c＝2.4.把(12，0)代入y＝ax2＋bx＋c中，可得144a＋12b＋2.4＝0，即12a＋15＋b＝0.由图象可知a0，对称轴为直线x＝－b2a，且0－b2a6，∴b0，∴12a＋150，∴a－160，即①成立，②不成立，故不可能选C与D.∵－b2a6，∴b－12a.∵b0，∴ab－12a，④正确，而a－b＋c的取值不确定，∴③不正确．故选B.11．[解析]B∵抛物线开口向下，∴a＜0.∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2－4ac＞0，而a＜0，∴b2－4ac4a＜0，故②错误；∵C(0，c)，OA＝OC，∴A(－c，0)．把(－c，0)代入y＝ax2＋bx＋c，得ac2－bc＋c＝0，∴ac－b＋1＝0，故③正确；设A(x1，0)，B(x2，0)，∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，∴x1·x2＝ca，∴OA·OB＝－ca，故④正确．故选B.12．[解析]C∵抛物线的顶点A的坐标为(1，3)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－b2a＝1，∴2a＋b＝0，故①正确；∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∴b＝－2a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故②错误；∵抛物线的顶点A的坐标为(1，3)，∴当x＝1时，二次函数有最大值3，∴方程ax2＋bx＋c＝3(a≠0)有两个相等的实数根，故③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为B(4，0)，而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(－2，0)，故④错误；∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n(m≠0)交于A(1，3)，B(4，0)两点，∴当1＜x＜4时，y2＜y1，故⑤正确．故选C.13．[答案]②③④[解析]由抛物线的开口向上，得a0.因为抛物线的对称轴在y轴的右侧，故a，b异号，从而知b0.又由抛物线与y轴的负半轴相交，知c0，故abc0，①不正确；因为抛物线的对称轴在直线x＝1的左侧，所以0－b2a1，因为a0，所以－b2a，所以2a＋b0，故②正确；因为抛物线经过点(1，0)，(－1，2)，所以有a＋b＋c＝0，a－b＋c＝2，两式相加得a＋c＝1，故③正确；因为c＝1－a0，所以a1，故④正确．所以正确的结论是②③④.14．[答案]③④[解析]∵抛物线开口向上，∴a＞0.又∵对称轴为直线x＝－b2a＞0，∴b＜0，∴结论①不正确；∵当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0，∴结论②不正确；根据抛物线的对称性，可将阴影部分的面积进行转化，从而求得阴影部分的面积＝2×2＝4，∴结论③正确；∵4ac－b24a＝－2，c＝－1，∴b2＝4a，∴结论④正确．综上，正确的结论是③④.15．[答案]PQ[解析]∵抛物线的开口向下，∴a0.∵－b2a0，∴b0，∴2a－b0.∵－b2a＝1，∴b＋2a＝0.当x＝－1时，y＝a－b＋c0，∴－12b－b＋c0，∴3b－2c0.∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c0，∴3b＋2c0，∴P＝3b－2c，Q＝b－2a－3b－2c＝－2a－2b－2c，∴Q－P＝－2a－2b－2c－3b＋2c＝－2a－5b＝－4b0，∴PQ.故答案为PQ.16．[解析]先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|的图象，即可得出|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k