圆锥曲线之椭圆小题(含详解)

试卷第1页，总4页椭圆小题1．已知12FF,为椭圆C：22198xy的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，12EFEF的最大值、最小值分别为（）A．9,7B．8,7C．9,8D．17,82．若椭圆的短轴为AB,一个焦点为1F,且1ABF△为等边三角形的椭圆的离心率是()A．14B．32C．22D．123．已知12,FF分别是椭圆的左，右焦点，现以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过1F的直线1MF是圆2F的切线，则椭圆的离心率为（）A．31B．23C．22D．324．椭圆192522yx的焦点1F2F，P为椭圆上的一点，已知21PFPF，则△21PFF的面积为（）A．12B．10C．9D．85．已知21,FF是椭圆的两个焦点，过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于BA,两点，若△2ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率为（）A．22B．32C．33D．236．若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（）A．2211220xyB．221412xyC．221128xyD．221812xy7．设椭圆C：)0(12222babyax的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）．A．63B．31C．21D．338．△ABC的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC周长为18，则C点轨迹为()（A）192522yx(y≠0)（B）192522xy(y≠0)试卷第2页，总4页（C）191622yx(y≠0)（D）191622xy(y≠0)9．已知,AB是椭圆22221(0)xyabab长轴的两个端点，,MN是椭圆上关于x轴对称的两点，直线,AMBN的斜率分别为12,kk)0(21kk，若椭圆的离心率为23,则||||21kk的最小值为（）A．1B．2C．3D．210．已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,AB两点．若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为A．2214536xyB．2213627xyC．2212718xyD．221189xy11．设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax上一点，21FPF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为A．34B．23C．12D．12．若椭圆1C：1212212byax（011ba）和椭圆2C：1222222byax（022ba）的焦点相同且12aa．给出如下四个结论：①圆1C和椭圆2C一定没有公共点；②1122abab；③22212221bbaa；④1212aabb．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③13．如图，从椭圆222210xyabab上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1,又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭圆的离心率为（）试卷第3页，总4页A．12B．55C．22D．3214．已知椭圆C：22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为A，上顶点为B，若椭圆C的中心到直线AB的距离为126||6FF，则椭圆C的离心率eA．22B．32C．23D．3315．已知椭圆E：22221(0)xyabab的右焦点为F，离心率为32，过原点O且倾斜角为π3的直线l与椭圆E相交于A、B两点，若△AFB的周长为813413，则椭圆方程为．16．椭圆012222＞＞babyax的左、右焦点分别为21,FF，若椭圆上存在点P使线段1PF与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段1PF的中点，则该椭圆的离心率为17．圆222(0)xyrr经过椭圆22221(0)xyabab的两个焦点12,FF，且与该椭圆有四个不同交点，设P是其中的一个交点，若12PFF的面积为26，椭圆的长轴长为15，则abc（c为半焦距）.18．如图所示，已知椭圆C：24x＋y2＝1，在椭圆C上任取不同两点A，B，点A关于x轴的对称点为A′，当A，B变化时，如果直线AB经过x轴上的定点T(1，0)，则直线A′B经过x轴上的定点为________．试卷第4页，总4页19．在平面直角坐标系xOy中，以椭圆2222xyab+＝1(a＞b＞0)上的一点A为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是________．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别为椭圆2222xyab+＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线BF2与椭圆的另一个交点为D，若cos∠F1BF2＝725，则直线CD的斜率为________．21．已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于BA,两点，且线段AB的中点在直线02yx上，则此椭圆的离心率为_______22．设椭圆2212516xy上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足1()2OMOPDF，则||OM=．答案第1页，总7页参考答案1．B【解析】试题分析：由题意可知椭圆的左右焦点坐标为)0,1(),0,1(21FF，设),(yxE，则),1(),,1(21yxEFyxEF，所以791988112222221xxxyxEFEF)33(x，所以当0x时，21EFEF有最小值7，当3x时，21EFEF有最大值8，故选B．考点：1．椭圆的定义及几何性质；2．向量的坐标运算．2．B【解析】试题分析：因为椭圆的短轴长为2b，11AFBFa，所以2232,3,.2cabcabbea考点：1．椭圆的性质；2．离心率．3．A【解析】试题分析：如图，易知2MFc，122FFc，12MFMF，故13MFc，所以有1232MFMFcca，可解得离心率．∵12FF，分别是椭圆的左，右焦点，现以2F为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点MN，，过1F的直线1MF是圆2F的切线，∴2MFc，122FFc，12MFMF，∴13MFc，∴2331accc，∴椭圆的离心率32311cea．故选：A．考点：椭圆的离心率．答案第2页，总7页4．C【解析】试题分析：21PFPF所以2P，由焦点三角形面积公式得2tan9tan4592Sb考点：椭圆焦点三角形5．C【解析】试题分析：设2ABF的边长为2x，则2ABF的高线长为3x，由椭圆的定义可知223axxx，且23cx，所以离心率33cea．故C正确．考点：椭圆的简单几何性质．6．D【解析】试题分析：椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在y轴上，且422ba，故能排除A，B，C答案为D.考点：求椭圆的方程.7．D．【解析】试题分析：根据题意，作出示意图（如图所示）在21FPFRt中，02130FPF；设mPF21，则mFFmPF3,212；由椭圆的定义，得mFFcmPFPFa32,322121，则椭圆的离心率为3322ace．考点：椭圆的定义、直角三角形．8．A【解析】试题分析：由题意可知8,18ABABCACB,可得10CACBAB.由椭圆的定义可知点C的轨迹是以4,0,4,0AB为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点.此时答案第3页，总7页210,4ac,所以2225,9abac.所以点C的轨迹方程为221,0259xyy.故选A.考点：1椭圆的定义;2定义法求轨迹方程.9．A【解析】试题分析：设)(),,(),,(axayxNyxM，则axyk1，axyk2，因椭圆的离心率为23，所以2112eabxayaxykk||||2112)1(2222222222abxaaxbxay考点：椭圆及最值10．D【解析】试题分析：由焦点(3,0)F可知2239cab，设1122,,,AxyBxy，代入椭圆方程后两式相减得222ab2218,9ab，所以方程为221189xy考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆相交的中点弦问题11．A【解析】试题分析：由题意可知122333222224cFFFPcaccaea考点：椭圆离心率12．B【解析】试题分析：因为椭圆1C和椭圆2C的焦点相同且12aa．，所以22221122abab，1212aabb，，∴①③正确；又22221212aabb，112200abab，，∴④正确，故选B．考点：椭圆的简单性质．13．C【解析】试题分析：根据题意可知，2(,)bPca-，因AB∥OP，可知ABOPkk=,可得2bbaca-=-，整理答案第4页，总7页得bc=，故椭圆的离心率为22，所以选C．考点：椭圆的离心率．14．A【解析】试题分析：设椭圆C的的焦距为2()cca，由于直线AB的方程为0axbyab，所以2263abcab，因222bac，所以42243720aacc，解得222ac或223ac（舍），所以22e，故答案为A.考点：椭圆的简单几何性质.15．2214xy【解析】试题分析：由离心率为32可得2ab，椭圆方程可化为：2224xya，将:3lyx代入得13||13Axa，由椭圆对称性，△AFB的周长=2||24||AaABax，可得2a．故椭圆方程为2214xy．考点：直线与椭圆．16．【解析】53试题分析：设线段1PF的的中点为M，则OMb，由OM是12FPF的中位线，22122OMPFPFb，再由椭圆的定义可得111122,2PFabMFPFab在1RtOMF中，222222222223499abbcabcababac可得53e考点：椭圆的离心率17．1326答案第5页，总7页【解析】试题分析：依题意作图，易求a=152；利用椭圆的定义与直径三角形△F1PF2即可求得c=112，从而可求得b，继而可得a+b+c的值．考点：椭圆的定义与性质.18．(4，0)【解析】设直线AB的方程为x＝my＋1，由22141xyxmy得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－224mm，y1y2＝－234m，当m≠0时，经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为121yyyy＝121xxxx.令y＝0，得x＝2121xxyyy1＋x1＝2121mymyyyy1＋my1＋1＝2212112121myymymyymyyy－＋＋＋＋1＝12212myyyy＋＋1＝223 2424mmmm－＋1＝4，所以y＝0时，x＝4.当m＝0时，直线AB的方程为x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB为x轴时，直线A′B就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A，B变化时，直线A′B经过x轴上的定点(4，0)．19．625122－－，答案第6页，总7页【解析】由题意得，圆半径r＝2ba，因为△ABC是锐角三角形，所以cos0＞cos2A＝cr＞cos4，即22＜cr＜1，所以22＜22acac－＜1，即22＜1ee＜1，解得e∈625122