双曲线的简单几何性质(优秀教案)

1/7教案普通高中课程标准选修2-12.3.2双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。二、教学目标（一）知识与技能1、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。2、理解双曲线的渐近线。（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法，用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生的观察能力、联想类比能力。（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。四、教学过程(一)课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？（教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。【板书】：双曲线)0,0(12222babyax的性质2、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。（讨论）2/7（二）双曲线的性质1、范围：把双曲线方程12222byax变形为22221byax。因为022by，因此122ax，即22ax，所以axax或。又因为022by，故Ry。【板书】：1、范围：axax或，Ry。2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线12222byax的标准方程，判断它的对称性？在标准方程中，把x换成x，或把y换成y，或把x，y同时换成x，y时，方程都不变，所以图形关于y轴、x轴和原点都是对称的。【板书】：2、对称性：双曲线的对称轴是x轴、y轴，原点是它的对称中心。3、顶点：提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？在标准方程12222byax中，令0y得ax；令0x，则y无解。这说明双曲线有两个顶点，)0,(),0,(21aAaA。（2）如图，对称轴上位于两顶点间的线12222byax的实轴，其段21AA叫做双曲线长度为a2。尽管此双曲线与y轴无公共点，但y轴上的两个特殊的点),0(),,0(21bBbB。我们称线段21BB为双曲线的虚轴，其长度为b2。【板书】：3、顶点：)0,(),0,(21aAaA，称21AA为实轴，21BB为虚轴，其中),0(),,0(21bBbB。o2B1B2A1Ayx3/7特别地，当ba时，双曲线12222byax的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线222ayx。4、离心率【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比ace，叫做双曲线的离心率。提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？（2）双曲线的形状与离心率有什么关系？由等式222bac，可知：2222222211abababaacace【板书】：双曲线的离心率1e且e越大双曲线的开口就越开阔。5、渐近线：提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？在第一象限内双曲线12222byax可以化为22axaby，是增函数。因为222xax，所以xabxabaxaby222，即xaby，这个不等式意味着什么？（它表示直线xaby下方半个平面区域。）（用刚才作矩形的方法画出两条直线xaby，然后指出区域。）由于双曲线和直线xaby都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线xaby之间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。提问：（2）直线xaby与双曲线12222byax有什么联系呢？（用几何画板课件演示）：随着x无限增大时，点),(yxM到直线xaby的距离就无限趋于零。【板书】：5、渐近线：直线xaby叫做双曲线)0,0(12222babyax的渐近线；直线4/7xbay叫做双曲线)0,0(12222babxay的渐近线。练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。（1）369422yx的渐近线方程是：032yx（2）369422yx的渐近线方程是：032yx（3）10042522yx的渐近线方程是：025yx（4）10042522yx的渐近线方程是：025yx可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。（启发学生讨论，归纳）。把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？02222byax，即0byaxbyax，这就表示两条渐近线00byaxbyax或。【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，然后变形，即可得其渐近线方程。（三）小结标准方程)0,0(12222babyax)0,0(12222babxay图形性质焦点)0,(,021cFcF），（),0(),,0(21cFcF范围axax或，RyRxayay,或对称性关于x轴，y轴，原点都对称顶点)0,(),0,(21aAaA),0(),,0(21aAaA2A1A2F1FOyxo2B1B2A1Ayx5/7离心率1ace渐近线xabyxbay（四）典型例题与变式训练例1、求双曲线14416922xy的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解：把方程14416922xy化为标准方程1342222xy由此可知，半实轴长4a，半虚轴长3b；5342222bac焦点坐标是)5,0(),5,0(；离心率45ace；渐近线方程为xy34。归纳总结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c的值，再由双曲线的几何性质求解。【变式训练】：求双曲线14416922xy的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例2、求适合下列条件的双曲线标准方程（1）顶点在x轴上，虚轴长为12，离心率为45；（2）顶点间距离为6，渐近线方程为xy23；解：（1）设双曲线的标准方程为12222byax)0,0(ba。由题意知122b，45ac且222bac。∴,8,10,6acb∴所求双曲线方程为1366422yx。（2）当焦点在x轴上时，由23ab且3a，∴29b。∴所求双曲线方程为1814922yx6/7当焦点在y轴上时，由23ba且3a，∴2b。∴所求双曲线方程为14922xy归纳总结：首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程，在由条件求出a,b,c即可。【变式训练】：2、求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1）顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，45e；（2）焦距是16，34e。（五）课堂总结（六）作业：教材第61页：习题2.3，第2、3两题。五、板书设计六、课堂设计说明椭圆双曲线图形标准方程)0(12222babyax)0,0(12222babyax范围bybaxa,axax或，Ry对称性关于x轴，y轴，原点都对称关于x轴，y轴，原点都对称顶点),0(),0,(ba)0,(a离心率10ace1ace渐近线无xaby1、范围：axax或，Ry。2.3.2双曲线的简单几何性质双曲线)0,0(12222babyax的性质2、对称性：双曲线的对称轴是x轴、y轴，原点是它的对称中心。例题课堂训练5、结论：o2B1B2A1Ayx2F1Foyx7/71、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质，采用类比椭圆的几何性质的推导方法，让学生自己推导出双曲线的几何性质。在教学中，凡是经过努力学生自己能得到的结论应该让学生自己得到，这样有利于调动学生学习的积极性，有利于激发学生的学习兴趣，使学生的主动性得到淋漓尽致的发挥，从中提高学生的思维能力和解决问题的能力。2、本节课的难点是双曲线的渐近线，故采取了有目的的，精心巧妙地存疑设问，用悬念激发学生的情趣，促进思考。结合学生实际，把“共渐近线的双曲线”、“离心率的问题”放到下一节课来完成。七、课后反思：