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文章编号222漂浮基空间机械臂分解运动控制的增广自适应算法α陈力福州大学机械工程系福州刘延柱上海交通大学工程力学系上海摘要本文讨论了载体位置与姿态均不受控制的漂浮基两杆空间机械臂系统的逆运动学问题推导了系统的运动学!动力学方程分析表明结合系统动量守恒及动量矩守恒关系得到的系统广义关系为系统惯性参数的非线性函数本文证明了借助于增广变量法可以将增广广义矩阵表示为一组适当选择的惯性参数的线性函数并在此基础上给出了系统参数未知时由空间机械臂末端惯性空间期望轨迹产生机械臂关节铰期望角速度!角加速度的增广自适应控制算法仿真运算证实了方法的有效性关键词漂浮基空间机械臂系统多刚体系统动力学增广自适应控制中图分类号×°文献标识码1引言空间技术的迅速发展使机械臂在其中的作用日益重要利用空间机械臂从事空间站的日常维修以及大型空间站的在轨组装工作将大大节省费用此外由于在空间环境下系统控制燃料极其宝贵从节省控制燃料!增加空间机械臂的有效使用寿命从而减少发射费用的角度考虑使用载体位置!姿态均不受控制的空间机械臂将非常必要因此研究机械臂操作期间载体位置!姿态均不受控制的空间机械臂系统的动力学与控制问题有着重要的实际意义由于载体自由浮动位置!姿态控制系统在机械臂操作期间处于关闭状态机械臂与载体之间存在着强烈的动力学耦合作用因此空间机械臂的动力学和控制问题远较地面固定机械臂复杂≈其突出特点表现为空间机械臂系统为非完整动力学系统且系统动力学方程中的惯性参数不符合线性规律因此其控制系统的设计难度极大尤其对于系统参数不确定的情况地面机械臂中基于惯性参数线性关系的自适应等控制方法在此难以应用•≈和马保离等≈讨论了载体位置无控姿态受控条件下的自适应控制问题∏等≈对载体位置和姿态均无控制情形提出了自适应控制的标准形式增广法陈力等≈则改进了增广变量法给出了空间机械臂末端抓手跟踪惯性空间期望轨迹的变结构鲁棒控制方法本文讨论了载体位置和姿态均无控制的漂浮基两杆空间机械臂系统的运动学!动力学问题并充分利用系统运动学!动力学方程的结构证明了通过恰当定义的增广变量可以将空间机械臂系统的增广广义矩阵表示为一组适当选择的惯性参数的线性函数进而给出了系统参数未知时由空间机械臂末端惯性空间期望轨迹产生机械臂关节铰的期望角速度及角加第卷第期年月机器人ΡΟΒΟΤ∂√α基金项目国家自然科学基金及航空基金自选课题收稿日期速度的增广自适应控制算法同文献≈的方法相比此方法不需要测量载体的位置及相应的速度因此简化了控制系统的结构使其更适于实时应用仿真运算证实了方法的有效性2系统运动学!动力学Οχ图漂浮基两杆空间机械臂ΟχΘΠΘχΨΟΞΧεχΘΘΘΒΒΒΟΟχΟΟξξξΠ漂浮基空间机械臂系统为无根多体系统以平面两杆自由漂浮空间机械臂系统为例如图所示设空间机械臂系统由自由漂浮的载体Β机械臂ΒΒ组成建立各分体Βιι的主轴坐标系Οι2ξιψιζι其中Ο与Β的质心Οχ重合ΠΟ分别为联结Β与Β!Β与Β的转动铰的中心ξιι为机械臂的对称轴设Ο在Οξ轴上与Ο的距离为λΒιι沿ξι轴的长度为λιι质心Οχ在轴Οξ轴上与Ο的距离为α质心Οχ在Οξ轴上与Ο的距离为α各分体的质量和中心惯量张量分别为μι和ΙιιΜΕιμι为系统的总质量Χ为系统的总质心建立平动的惯性坐标系Ο2ΞΨΖ设各分体沿ΞΨ平面作平面运动ζι轴与Ζ轴保持平行并设εγιι为ξι轴的基矢量则由系统的位置几何关系各分体质心Οχι相对Ο的矢径Θλιι为ΘλΘλλεγαεγΘλΘλλεγλεγαεγ而机械臂的末端Π点相对Ο的矢径Θλπ为ΘλπΘλλεγλεγλεγ根据系统质心的定义有ΕιμιΘλιΜΘλχ将式代入式可解出Θλ为ΘλΘλχλΜμμεγΜμαμλεγμαΜεγ将式代入式得到ΘλπΘλχΕιΛιεγι其中ΛμλΜΛ≈μλμλαΜΛ≈μμλμλαΜ以ξ轴相对Ψ轴的偏角Α和ξ轴相对ξ轴的转角Η以及ξ轴相对ξ轴的转角Η为系统的广义坐标将矢径Θλπ向ΞΨ轴投影得到点Π的位置坐标为ξπξχΛΑΛΑΗλΑΗΗψπψχΛΑΛΑΗλΑΗΗ忽略微弱的重力梯度空间机械臂系统为无外力作用的自由漂浮无根多体系统系统相对Ο2机器人年月ΞΨΖ的动量守恒且相对Ο点的动量矩守恒不失一般性设系统初始的动量!动量矩为零则有Θλχ而根据系统动量矩守恒原理有≈ΙΑαΘλ≅μΘλ≈ΙΑαΗαΘλ≅μΘλ≈ΙΑαΗαΗαΘλ≅μΘλ整理后上式化为≈ΕιΙιμιΜιΑα≈ΙΙΕιμιΜιΗα≈ΙΕιμιΜιΗα其中参数Μιϕιϕ为系统动力学参数及系统广义坐标的函数3运动ϑαχοβι关系将式中的二式分别对时间τ求导则有ξαπϑΑαϑΗαϑΗαψαπϑΑαϑΗαϑΗα其中ϑΛΑΛΑΗΛΑΗΗϑΛΑΗΛΑΗΗϑΛΑΗΗϑΛΑΛΑΗΛΑΗΗϑΛΑΗΛΑΗΗϑΛΑΗΗ由式及上式可见空间机械臂末端运动速度可表示为系统一组惯性参数ΛΛΛ的线性函数但是式中包含了本体姿态角的角速度Αα为了得到所谓的空间机械臂末端运动速度ξαπψαπΤ与机械臂关节铰角速度ΗαΗαΤ之间的广义矩阵≈需利用式消去式中的Αα然而此时空间机械臂末端的运动速度将不能表示为惯性参数的线性函数对于系统动力学参数存在不确定性的情况将非常不利于自适应等控制方案的实现为此我们将采用如下的增广自适应控制算法以解决这一难点4关节角速度的增广自适应算法为了保证空间机械臂系统运动关系关于系统惯性参数的线性函数关系我们定义新的增广变量Ψ≈ΑΞΤπΞπ≈ξπψπΤ则可导出增广速度变量Ψα与广义速度变量θα≈ΑαΗαΤΤΗα≈ΗαΗαΤ之间的关系ΨαΑαΞαπΙΟϑβϑρΑαΗαϑαθαϑβϑϑϑρϑϑϑϑ其中Ι为阶单位阵Ο为≅阶零矩阵若ϑρ非奇异则矩阵ϑα可逆从方程可解出θαΑαΗαϑαΨαΙΟϑρϑβϑρΑαΞαπ设ΨΔ≈ΑΞΤΔΤ其中ΞΔ为空间机械臂末端抓手在惯性空间的期望运动轨迹εΞΔΞπ为实际轨迹与期望轨迹之间的误差则Ψ与ΨΔ之间的增广输出误差向量εα为εαΨΔΨ≈ΞΔΞπΤΤ≈εΤΤ第卷第期陈力等漂浮基空间机械臂分解运动控制的增广自适应算法如5的估计值为5ϑα的估计值为ϑζα并定义如下误差向量5ϖ55ϑθαϑαϑζα则如ΑΑαε可测量或计算得到那么有如下定理定理1若矩阵ϑζαθ5非奇异ΞΔτΞαΔτ有界则如下机械臂关节角速度的增广自适应算法θαϑζαθ5ΨαΔΚεα5ΩΤΗεα保证εαεαα5θαΨΨα有界且有λιμτψ]ε其中ΚΗ为适当选择的对称正定矩阵Ω定义为Ω5ϖϑθαϑζαθ5ΨαΔΚεα证明选择如下的正定函数ς作为准∏√函数ςεΤαΗεα5ϖΤ5ϖ计算ς的通过式构成的全导数ςα有ςαεΤαΗεαα5ϖΤ5ϖεΤαΗΨαΔΨα5ϖΤ5ΗεΤαΗϑζαθαΚεαΨα5ϖΤ5εΤαΗϑζαθαϑαθαεΤαΗΚεα5ϖΤΩΤΗΤεαεΤαΗϑθαθαεΤαΗΚεα5ϖΤΩΤΗΤεαεΤαΗ≈ϑθαϑζαΨαΔΚεαεΤαΗΚεα5ϖΤΩΤΗΤεαεΤαΗ≈Ω5ϖεΤαΗΚεα5ϖΤΩΤΗΤεαεΤαΗΚεαεΤΗΚεΤΤεΤΚ3εΤ其中Κ3为ν阶对称正定矩阵显然ςα为εα的二次型是负定的由于ςα[且ς有下界为零则当τψ]时ς趋于某常数故在区间τΙ≈]是有界的因Η为对称正定矩阵则由ς的定义可导出εα5亦有界从而θα也是有界的故Ψα以及εαα有界由于εαα有界ΚΗ为对称正定矩阵则ςα在区间τΙ≈]是一致连续的则由ς有界及ςα不变号ςα[可知λιμτψ]ςα0则由上式可知当τψ]时εαψ0最终由式导出λιμτψ]ε0证毕因此控制规律可保证空间机械臂的末端抓手渐近稳定地追踪由ΞΔ所描写的惯性空间期望轨迹5关节角加速度的增广自适应算法将式对时间τ求导得到Ψβϑαθβϑααθα定义扩展增广输出误差σεααΚςεα≈εαΚϖεΤΤ其中Κϖ为阶对称正定矩阵将上式对时间τ求导则有σαεβαΚςεααΨβΔΨβΚςεααΨβΔϑαθβϑααθαΚςεααϑαθβΘ其中ΘΨβΔϑααθαΚϖεαα如ΑΑαε可测量或计算得到则有如下定理定理2若矩阵ϑαθ5ϑζαθ5非奇异ΞΔτΞαΔτ有界则如下机械臂关节角加速机器人年月度的自适应算法θβϑζαθ5ΘΚπΣ5ΩΤΗΣ保证εαεααεβα5θαθβΨαΨβ有界且有λιμτψ]ελιμτψ]εα其中ΚπΗ为适当选择的对称正定矩阵Θ为Θ的估计值Ω定义为ΩΩΩΩ5ϖΘΘϑααθαϑα∗αθαΩ5ϖϑθαϑζαΘΚπΣ证明选择如下的正定函数ς作为准∏√函数ςεΤαεαΧΣΤΗΣΧ5ϖΤ5ϖ计算ς通过式构成的全导数ςα得到ςαεΤαεααΧΣΤΗΣαΧ5ϖΤ5ϖ利用式上式右端第一项可以写为εΤαεααεΤαΣΚϖεαεΤαΚϖεαεΤαΣ而式右端第二项可以写为ΧΣΤΗΣαΧΣΤΗϑαθβΘΧΣΤΗϑαθβΧΣΤΗΘΧΣΤΗϑαϑζαΘΚπΣΧΣΤΗΘΧΣΤΗϑθαϑζαϑζαΘΚπΣΧΣΤΗΘΧΣΤΗϑθαϑζαΘΚπΣΧΣΤΗΘΚπΣΧΣΤΗΘΧΣΤΗΩ5ϖΧΣΤΗΘΘΧΣΤΗΚπΣΧΣΤΗΩ5ϖΧΣΤΗΩ5ϖΧΣΤΗΚπΣΧΣΤΗΩ5ϖΧΣΤΗΚπΣ而式右端第三项可以写为Χ5ϖΤ5ΗΧ5ϖΤ5Χ5ϖΤΩΤΗΣ将!及式代入式得到ςαεΤαεααΧΣΤΗΣαΧ5ϖΤ5ΗεΤαΚϖεαεΤαΣΧΣΤΗΩ5ϖΧΣΤΗΚπΣΧ5ϖΤΩΤΗΣεΤαΚϖεαεΤαΣΧΣΤΗΚπΣ显然ςα为εαΣ的二次型故当参数Χ选择得足够大时可保证它们的和小于零且ςα当且仅当εαΣ同理可证当τψ]时εαψΣψ最终由式导出λιμτψ]ελιμτψ]εα证毕因此控制规律保证空间臂末端抓手渐近稳定地追踪期望轨迹ΞΔ6仿真算例以作平面运动的漂浮基两杆空间机械臂系统为例已知βαβαβ各分体质量分别为μμ中心惯量矩为ΙΙΙ第卷第期陈力等漂浮基空间机械臂分解运动控制的增广自适应算法仿真时假定杆件质量μμ为未知参数则机械臂系统的待估计参数向量为5555Τ其中5μλΜ5≈μλμλαΜ5λμαΜ设空间机械臂末端抓手在惯性工作空间的期望轨迹为圆ΞΔτψΔτ本体姿态角及机械臂关节角的初始值分别为ΑβΗβΗβ机械臂末端抓手在惯性工作空间的初始位置为ξΔψΔ而杆件质量μμ的初始估计值均为零分别利用上面给出的两种控制算法进行仿真运算图为采用控制算法及式得到的手端实际轨迹与期望轨迹的比较图为采用控制算法及式得到的手端实际轨迹与期望轨迹的比较仿真计算结果表明文中提出的两种控制算法能够有效地消除系统惯性参数的不确定性对控制精度的影响有效地控制空间机械臂的末端抓手稳定地跟踪惯性工作空间的期望轨迹同时也不需要对载体的位置!姿态加以控制从而大大减少了喷气装置的燃料消耗延长了空间机械臂的有效使用寿命节省了费用图手端实际轨迹与期望轨迹图手端实际轨迹与期望轨迹参考文献°∏∞⁄∏≥∏≤ƒ2ƒ≥∏∞∞∞×∏7∂√⁄∏≥⁄≥∏∂∏∏°°∏∏≥38••√≤≥2∏∞∞∞×∏27马保离霍伟载体姿态可控的空间机器人系统关节角轨迹的自适应算法控制与决策10∏≠÷∏≠≥∏√≤≥≥∏⁄≤陈力刘延柱吴文龙参数不确定空间机械臂系统的变结构鲁棒控制空间科学学报18≠≠√≤≥∏¬∞∞∞×∏5下转第页机器人年月