函数的奇偶性典型例题

课题：函数的奇偶性（一）主要知识：1.函数的奇偶性的定义：设()yfx，xA，如果对于任意xA，都有()()fxfx，则称函数()yfx为奇函数；如果对于任意xA，都有()()fxfx，则称函数()yfx为偶函数；2.奇偶函数的性质：1函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；2()fx是偶函数()fx的图象关于y轴对称；()fx是奇函数()fx的图象关于原点对称；3奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.3.()fx为偶函数()()(||)fxfxfx．4.若奇函数()fx的定义域包含0，则(0)0f．（二）主要方法：1.判断函数的奇偶性的方法：1定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()fxfx或()()fxfx是否定义域上的恒等式；2图象法；3性质法：①设()fx，()gx的定义域分别是12,DD，那么在它们的公共定义域12DDD上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数；2.判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：()()0fxfx，()1()fxfx．典型题型问题1．判断下列各函数的奇偶性：122()11fxxx；2212()2xxfx；32()lg(1)fxxx；422(0)()(0)xxxfxxxx问题2．利用函数的奇偶性求解析式已知()fx是R上的奇函数，且当(0,)x时，3()(1)fxxx，则()fx的解析式为问题3．利用定义判断抽象函数的奇偶性1.已知函数()fx满足：()()2()()fxyfxyfxfy对任意的实数x、y总成立，且(1)(2)ff.求证：()fx为偶函数.2.已知函数()fx对一切,xyR，都有()()()fxyfxfy，1求证：()fx为奇函数；2若(3)fa，用a表示(12)f.问题4.利用函数的奇偶像和单调性的综合应用．1已知()fx是偶函数，xR，当0x时，()fx为增函数，若120,0xx，且12||||xx，则A.12()()fxfxB.12()()fxfxC.12()()fxfxD.12()()fxfx2设定义在2,2上的偶函数()fx在区间0,2上单调递减，若(1)()fmfm，求实数m的取值范围问题5：利用函数的奇偶性求值已知5)(357dxcxbxaxxf，其中dcba,,,为常数，若7)7(f，则)7(f_______问题6：数形结合1设奇函数()fx的定义域为5,5若当0,5x时,()fx的图象如右图,则不等式()0fx的解是问题7：已知函数的奇偶性求参数1.已知函数21()axfxbxc（a、b、cZ）为奇函数，又(1)2f，(2)3f，求a、b、c的值.2.定义在)1,1(上的函数1)(2nxxmxxf是奇函数，则常数m____,n_____3.已知函数2()fxaxbxc,23,1xa是偶函数,则abyxO25()yfx