二次函数知识点总结大全

二次函数1.二次函数的定义：形如(a≠0，a，b，c为常数)的函数为二次函数.2、二次函数的解析式三种形式一般式y=ax2+bx+c(a≠0)顶点式2()yaxhk224()24bacbyaxaa两根式12()()yaxxxx3、二次函数的性质：对称轴：2bxa顶点坐标：24(,)24bacbaa与y轴交点坐标（0，c）增减性：当a0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大当a0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小(1)二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，其顶点是原点，对称轴是y轴；当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；(2)二次函数当a＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x＞-，y随x的增大而增大，x＜-，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点(3)当a＞0时，当时，函数有最小值；当a＜0时，当时，函数有最大值.4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的各项系数a、b、c对其图象的影响(1)a决定抛物线的开口方向和开口大小：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下.|a|的越大，开口越小.(2)a与b决定抛物线对称轴的位置：a、b同号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴左侧；a、b异号，抛物线的对称轴(即直线)或顶点在y轴右侧；(左同右异)；b=0时，抛物线的对称轴是y轴.yxO(3)c决定抛物线与y轴交点(0，c)的位置：c＞0，抛物线与y轴交于正半轴；c＜0，抛物线与y轴交于负半轴；c=0，抛物线与y轴交点是坐标原点.c相同的抛物线都过点(0，c).这些内容应该能够由数得形、依形判数.5.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根。抛物线y=ax2+bx+c，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=024bac0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x轴有两个交点；24bac=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x轴有一个交点；24bac0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x轴没有交点6、图象的平移（1）配方2()yaxhk，确定顶点（h,k）（2）对x轴左加右减；对y轴上加下减7、二次函数图像画法：勾画草图关键点：○1开口方向○2对称轴○3顶点○4与x轴交点○5与y轴交点【典型例题】一、选择题（每题5分，共30分）1．二次函数y=x2+bx+c,若b+c=0,则它的图象一定过点()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,1)2．若直线y=ax+b(ab≠0)不过第三象限,则抛物线y=ax2+bx的顶点所在的象限是()A.一B.二C.三D.四3．函数y=ax2+bx+c中,若ac0,则它的图象与x轴的位置关系为()A.无交点B.有1个交点;C.有两个交点D.不确定4．抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1,且过点(2,8),它的关系式为()A.y=2x2-2x-4;B.y=-2x2+2x-4;C.y=x2+x-2;D.y=2x2+2x-4二次函数的概念例1（基础）.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是（）A．（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）例2.下列命题中正确的是○1若b2－4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3○2若b2－4ac=0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且这个交点就是抛物线顶点。○3当c=－5时，不论b为何值，抛物线y=ax2+bx+c一定过y轴上一定点。○4若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有唯一公共点，则方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根。○5若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点A、B，与y轴交于c点，c=4，S△ABC=6，则抛物线解析式为y=x2－5x+4。○6若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点在x轴下方，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根。○7若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一根为0。○8若a－b+c=2，则抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）必过一定点。（提醒：将x=1和x=-1代入）○10若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则函数y=cx2+bx+a的图象与x轴必有两个交点。○11若b=0，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点一个在原点左边，一个在原点右边。二次函数的性质例3若二次函数24yaxbx的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2xx时，对应的y1与y2的大小关系是（）A．y1y2B.y1=y2C.y1y2D.不确定二次函数图像性质（共存问题、符号问题）例5、函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（）例6已知=次函数y＝ax2+bx+c的图象如图．则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，中，其值大于0的个数为（）A．2B3C、0D、1填空题1．若抛物线y=x2+(m-1)x+(m+3)顶点在y轴上,则m=_______.2．把抛物线y=12x2向左平移三个单位,再向下平移两个单位所得的关系式为________.3．抛物线y=ax2+12x-19顶点横坐标是3,则a=____________.4．若y=(a-1)231ax是关于x的二次函数,则a=____________.5．二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过点(-1,-1),则m=_________.6．已知点(2,5),(4,5)是抛物线y=ax2+bx+c上的两点,则这条抛物线的对称轴是______.A．B．C．D．1111xoyyoxyoxxoy