2016高三数学--三角应用题

1．设⊿ABC,,已知C=600，acosA=bcosB.（1）求角B的大小；（2）如图，在⊿ABC内取一点P，使得PB=2，过点P分别作直线BA,BC的垂线PM,PN，垂足分别是M,N，设PBA，求PM+PN的最大值及此时的值.2．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边（1）若AB边上的中线CM=AB=2，求a+b的最大值；（2）若AB边上的高h=0.5c，求baab的取值范围．3．墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB=θ．（1）若a=1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=0.5，当a变化时，求x的取值范围．4．某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面内沿南偏西600的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB，α的最大值为600．（1）求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；（2）求塔的高AB．5．渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用了2小时追赶上渔船乙．（Ⅰ）求渔船甲的速度；（Ⅱ）求sin的值．6.如图所示，某镇有一块空地⊿OAB，其OA=3mOB=33中，AO⊥OB．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖⊿OMN，其中M，N都在边A，B上，且∠MON=300，挖出的泥土堆放在⊿OAM地带上形成假山，剩下的OBN地带开设儿童游乐场．为了安全起见，需在⊿OAN的一周安装防护网．（Ⅰ）当AM=1.5km时，求防护网的总长度；（Ⅱ）若要求挖人工湖用地⊿OMN的面积是堆假山用地⊿OMA的面积的3倍，试确定∠AOM的大小．7．如图，为对某失事客轮AB进行有效援助，现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行辅助照明，其中ABCD在同一平面内．现测得Cd长为100米，105ADN，30BDM，45ACN，60BCM．（1）求⊿BCD的面积；（2）求船AB的长．8．正三角形ABC的边长为2，D,E,F分别在三边AB,BC和CA上，且D为AB的中点，90,090EDFBDE．（1）当3tan2DEF时，求的大小；（2）求DEF的面积S的最小值及使得S取最小值时的值．9．在海岸A处，发现北偏东045方向，距离A为(31)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西075方向距离A为2海里的C处有我方一艘辑私艇奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东030方向逃窜，问辑私艇沿什么方向，才能最快追上走私船？需要多长时间？10.某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高80BC（米），塔所在的山高220OB（米），200OA（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为，1tan2，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）11.在ABCV中，90ABCo,31ABBC,,P为ABCV内一点，90BPCo．（Ⅰ）若PB=0.5,求PA；（Ⅱ）若150APBo,求tanPBA．12．如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，0.1kmAC．试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0．01km，2≈1．414，6≈2．449）．13．已知AB、分别在射线CMCN、（不含端点C）上运动,∠MCN=1200,在ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c.MNθACB（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列,且公差为2.求c的值;（Ⅱ）若3c,ABC,试用表示ABC的周长,并求周长的最大值.14．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为103米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧CD的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45，30和60．（1）求烟囱AB的高度；（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．15．如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知角A为120,,ABAC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆.（1）若围墙AP,AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元.若围墙用20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？17．如图，摩天轮的半径为50m，点O距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻t（min）时点P距离地面的高度；（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85m?18．如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝θ，而△BCD是正三角形．(1)将四边形ABCD的面积S表示为θ的函数；(2)求S的最大值及此时θ角的值．19．如图，已知ABC△中，1,2,120ABACBAC，点M是边BC上的动点，动点N满足30,3MANAMAN（点,,AMN按逆时针方向排列）．（1）若(0)ANAC，求BN的长；（2）求△ABN面积的最大值．20．如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于3，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P.（1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长；（2）设COP,求POC面积的最大值及此时的值.21．某人在汽车站M的北偏西20°的方向上的A处(如图所示)，观察到C处有一辆汽车沿公路向M站行驶，公路的走向是M站的北偏东40°.开始时，汽车到A处的距离为31km，汽车前进20km后，到A处的距离缩短了10km.问汽车还需行驶多远，才能到达汽车站M?ABCMNAPQBCl22．如图所示，角A为钝角，且sinA＝35，点P，Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．(1)若AP＝5，PQ＝35，求AQ的长；(2)若∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cosα＝1213，求sin(2α＋β)的值．23．某旅游景点有一处山峰，游客需从景点入口A处向下沿坡角为α的一条小路行进a百米后到达山脚B处，然后沿坡角为β的山路向上行进b百米后到达山腰C处，这时回头望向景点入口A处俯角为θ，由于山势变陡到达山峰D坡角为γ，然后继续向上行进c百米终于到达山峰D处，游览风景后，此游客打算乘坐由山峰D直达入口A的缆车下山结束行程，如图所示，假设A，B，C，D四个点在同一竖直平面．(1)求B，D两点的海拔落差h；(2)求AD的长24．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，发现敌舰正离开A岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，我舰要用2小时的时间追赶敌舰，设图中的C处是我舰追上敌舰的地点，且已知AB距离为12海里．（1）求我舰追赶敌舰的速度；（2）求∠ABC的正弦值.25．如图，ACD△是等边三角形，ABC△是等腰直角三角形，90ACB∠，BD交AC于E，2AB．（1）求CBEcos的值；（2）求AE．26．为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤。27．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75的方向上，距离为126海里，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30的方向上，距离为83海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60方向上，求：（1）AD的距离；（2）CD的距离。BACDE1．船与灯塔间的距离为435nmile【解析】试题分析：在△ABC中利用三角形内角和求得∠BCA和∠BAC，则BC可求得，最后利用正弦定理求得AC试题解析：在△ABC中，∠B＝152o－122o＝30o，∠C＝180o－152o＋32o＝60o，∠A＝180o－30o－60o＝90o，BC＝235，∴AC＝235sin30o＝435．答：船与灯塔间的距离为435nmile．考点：解三角形的实际应用2．（1）π3B；（2）2【解析】试题分析：（1）由coscosaAbB及正弦定理可得：sincossincosAABB，即sin2sin2AB，又00AB，，，，可得AB或2AB＝，由于3C，即可得出．（2）由题设，得在RtPMB中，sin2sinPMPBPBM；在RtPNB中，同理可得ππ2sin033PN，，于是π2sin3PMPN，．由于π03，可得π2sin(32]3，，据此即可得出结果．试题解析：解：（1）由coscosaAbB及正弦定理可得sincossincosAABB，即sin2sin2AB，又(0π)(0π)AB，，，所以有AB或π2AB，又因为π3C，得2π3AB，与π2AB矛盾，所以AB，因此π3B．（2）由题设得，在RtPMB△中，sin2sinPMPBPBM，在RtPNB△中，πππsinsin2sin0333PNPBPBNPBPBA，，，所以π2sin2sinsin3cos3PMPNπ2sin3，因为π03，，所以ππ2π333，，从而有π3sin132，，即π2sin(32]3，，于是，当ππ32，即π6时，PMPN取得最大值2．考点：1.正弦定理；2.三角函数的性质.3．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用余弦定理可得：b2=5﹣4cos∠CMA，a2=5+4cos∠CMA，可得a2+b2=10，利用基本不等式即可解得，从而得解．（2）由已知及三角形面积公式可得，又2ab（sinC+cosC）=a2+b2≥2ab，有，从而得解的取值范围．解：（1）∵b2=AM2+CM2﹣2AM•CMcos∠CMA=5﹣4cos∠CMA，a2=BM2+CM2﹣2BM•CMcos∠CMB=5﹣4cos（π﹣∠CMA）=5+4cos∠CMA，∴a2+b2=10，∴，故当且仅当a=b时，，（2）由，可得c2=2absinC=a2+b2﹣2abcosC，解得：2ab（sinC+cosC）=a2+b2，∴，又2ab（sinC+cosC）=a2+b2≥2ab，∴，得．考点：余弦定理；正弦定理．4．（1）（2）3≤x≤4．【解析】试题分析：（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD=EF，设∠ACD=α，∠BCD=β，CD=x，则θ=α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=，tanβ=，则tanθ=tan（α﹣β）==（x＞0），令u=，则ux2﹣2x+1.25u=0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤