整式因式分解例题答案

第一章实数与整式例1将下列各数填入相应的集合内，并用“”号将下列各数连接起来．21，2,8,3,30sin,4有理数集合{};无理数集合{}【分析】实数的分类关键是要理解相关概念;实数的大小比较可借助大小比较发则进行比较,并能估计无理数的大致范围.【解】有理数集合{2,30sin,21,4…}无理数集合{8，3…}842130sin32.【说明】①实数的分类和大小比较要看它化简的结果，但结果应保留原有形式；如30sin=21,4=2,21=21.②实数的大小比较还可借助于数轴直观地进行比较.例2已知：23(2)30aba=0，求ba11的相反数的倒数.【分析】两个非负数的和为零，即组成算式的每一部分均为零，由此可求出a、b的值.【解】由题意得2030aba解得a=-3,b=-6∴ba11=-216131，它的相反数为21.它的相反数的倒数是2.【说明】完全平方式和绝对值均为非负数，要充分理解其意义，并运用这一特征解题，本题涉及到的概念较多，有相反数、倒数、绝对值等.例3计算:（1）)5.1(21)32()211()32(222；（2）0112007212-30cos3）（）（．【分析】（1）式中因为94)5.1(1)32()32(222，所以可提取94再进行运算；（2）式中将各部分分别求值，再将他们求和．【解】（1）)5.1(21)32()211()32(22243414()92929431(1)9224(2)989（2）0112007212-30cos3）（）（2512121233【说明】正确进行实数的运算是基本要求，其中涉及到实数的运算法则、幂的运算、特殊三角函数值的计算等．例4计算:⑴)3)(3(cbacba；⑵22211111()()()42424xxxxx．【分析】（1）中可将ba3看作一个整体，先用平方差公式,再用完全平方公式进行运算；⑵中先将412x化为)21)(21(xx，再用乘法公式运算更加方便，“先退后进”是一种思想方法．【解】⑴原式=2222296)3(cbabacab．⑵原式=)4121)(21)(4121)(21(22xxxxxx=641)81)(81(633xxx．【说明】整式运算时要注意能灵活运用乘法公式．例5（1）若代数式7322xx的值为8，求代数式9642xx的值；（2）若x为实数，说明代数式8632xx大于0.【分析】（1）中由条件可知的1322xx值，可将1322xx作为整体求xx642的值，就可得9642xx的值．（2）中运用配方法可确定代数式值的正负．【解】（1）∵7322xx=8，（2）8632xx∴1322xx23(21)38xx∴xx642=25)1(32x9642xx=-7．∵x为实数，∴23(1)5x05．【说明】①注意整体思想在代数式求值中的运用；②配方法是常见的数学方法，在验证代数式的值、根的判别式、二次函数化成顶点式等情形中有较为广泛的运用．例6图1是一个三角形，分别连结这个三角形三边的中点得到图2；再分别连结图2中间的小三角形三边的中点，得到图3，按此方法继续下去，请你根据每个图中三角形个数的规律，完成下列问题：（图1）（图2）（图3）⑴将下表填写完整：图形编号12345……三角形个数159……⑵在第n个图形中有________个三角形(用含n的式子表示)．【分析】根据题目中的解题信息找规律是近年较流行的一类考题．解决这类问题，首先要从简单的情形入手，其次抓住“编号”，“序号”等与其他数量之间的关系，从而寻找出规律．本题中每一次连结最中间的三角形各边的中点，就多出四个小三角形区域．【解】⑴⑵4n一3【说明】本题还可从函数的角度去考虑，因为三角形个数y随着图形编号x的变化而变化，可猜想他们之间存在一次函数关系，可设y=kx+b用待定系数法求k、b，再选出其他组数的值代入验证，若猜想不成立，可再尝试用二次函数或反比例函数关系式。（当两个变量的积为常数时）第二章因式分解、分式、数的开方例1在二次根式①12，②32，③32，④327中与是同类二次根式的是（）．A．①③B．②③C．①④D．③④【分析】解答本题的关鍵是能正确化简题中的四个二次根式，然后根据被开方数是否相同来选择与3是否为同类二次根式．【解】∵3327,63132,222,32123．∴与3是同类二次根式的是①④，故答案选项C．【说明】最简二次根式、同类二次根式是本节内容两个重要概念，正确理解这两个概念，是进行二次根式加减运算的前提，因此在总复习时，应加强二次根式的化简的习题训练．例2把下列各式因式分解：（１）22bbaa（２）332718yx（３）222076nmnm【分析】（１）本题在进行因式分解时，不能直接提公因式或用公式法来分解，因此考虑用图形编号12345……三角形个数1591317……分组分解法．在分组时，尝试第一、第二两项分在一组，第三、第四两项分在另一组后不能继续分解，因此把第一、第四两项结合，第二、第三两项结合，通过提公因式后来实现因式分解．（２）把38x化为3)2(x，把3271y化为3)31(y，然后直接利用立方差公式来进行因式分解．（３）对于二次三项式的因式分解，常常考虑用十字相乘法来分解．【解】（１）原式＝)1)(()())(()()(22bababababababa．（２）原式＝(2x)3-3)31(y=(2x-y31)(4x2+xy32+)912y．（３）原式＝)52)(43(nmnm．【说明】华师版义务教育新课标实验教材中的因式分解要求偏低．事实上，让学生掌握十字相乘法分解因式，对于灵活解一元二次方程、解一元二次不等式等非常有用；另外，分组是数学中的一种重要的解题思想方法，对于不能直接提公因式、利用公式来分解因式的多项式，可以尝试用分组分解法来进行因式分解．对于立方和（差）公式，在中考总复习时要补充，让学生会运用公式来因式分解.例3化简：23142)1(222aaaaaaaaa．【分析】在进行分式的加减乘除混合运算中，要注意运算顺序，先算乘除、再算加减，有括号先算括号里面的．对于分子、分母是多项式的分式，应先把分子、分母因式分解，然后再约分化简．【解】原式＝1)2)(1(1)2()2)(2(12aaaaaaaaaaaaa．【说明】分式的加减乘除混合计算是考查学生因式分解、通分、约分等运算能力的经典题型，是学生中考过关的重要题型之一，复习中要高度重视．例4已知211,211ba，求代数式33abba的值．【分析】由于a、b均为可化简的二次根式，应先将a、b进行化简。而多项式的次数较高，且可以因式分解，因此，容易想到转化的思想方法，把比较复杂的计算问题简单化．【解】∵21211,21211ba，∴1,2abba，∴6)24(]2)[()(22233abbaabbaababba．【说明】本题考查学生数学方法是：分母有理化、因式分解、配方法；运用数学思想是：转化思想、整体思想．教师在复习时要适量地进行有关数学思想和数学方法的渗透．例5先化简，再求值：321,1211222aaaaaaa其中．【分析】化简本题时可先利用公式)0(||2aaaa来化去根号，然后通过分子、分母因式分解约分化简．【解】∵,32321a,321a∴,0311a∴原式＝51411)1()1(1)1(|1|1)1)(1(aaaaaaaaaaaa．【说明】本题是分式和二次根式的综合计算问题，难点是要判断a-1的正负性．另外，值得注意的是化简结果11aa后求值的方法技巧，告诫学生不要用通分这种繁琐的方法去求值．例6已知,0344)(2baabab求2baab的值．【分析】有效利用配方法，由已知条件求出a+b，ab的值，然后通过通分把未知分式转化为a+b，ab的代数式，从而由整体代入法来求出结果．【解】∵,0344)(2baabab∴,03)2(2baab＋－∴2ab，3ba，∴29)(22222abbaabababbaab．【说明】利用因式分解的公式法，把已知等式化为两个非负数的和，再求出隐含结论ba，ab的值是解决此题的突破口．利用通分和完全平方公式来把未知分式转化为已知ba，ab的式子，让学生体会整体思想方法和转化思想方法．