圆的一般方程

学科网教学重难点重点：1.圆的一般方程的形式特征。2．待定系数法求圆的方程。难点：坐标转移法求轨迹方程。【学习目标】1．掌握圆的一般方程及其条件，能进行标准方程与一般方程的互化，理解圆的一般方程与标准方程的联系。2．初步掌握求点的轨迹方程的思想方法。3．进一步掌握配方法和待定系数法．圆的标准方程xyOCM(x,y)222)()(rbyax圆心C(a,b),半径r若圆心为O（0，0），则圆的方程为：222ryx标准方程复习引入圆心(2,－4)，半径(1)圆(x－2)2+(y+4)2=2.2(2)圆(x+1)2+(y+2)2=m2圆心(－1,－2)，半径|m|（m≠0）分别说出下列圆的圆心与半径复习引入圆的方程一般代数形式是什么特点呢xy22(3)(4)6xyxy2268190展开得xyDxEyF220任何一个圆的方程都是二元二次方程-a-br2-2ax-2by+a2+b2-r2=0思考220xyDxEyF结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0探究：是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？xyxy22(1)2410配方得xyDxEyF220不一定是圆xy22(1)(2)4以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆xyxy22(2)2460xy22(1)(2)1配方得不是圆思考圆的一般方程xyDxEyF220DEDEFxy22224224配方得（1）当时，DEF2240表示圆，DE,22-DEFr2242（2）当时，DEF2240表示点DE,22（3）当时，DEF2240不表示任何图形【排忧解惑】圆心·思考:当D=0，E=0或F=0时，圆的位置分别有什么特点？220xyDxEyFCxoyCxoyCxoyD=0E=0F=0练习1:判别下列方程表示什么图形,如果是圆,就找出圆心和半径.221)2410xyxy222)0xy223)60xyx点(0,0)22436DEF6,0DEF2240DEF0DEF半径:圆心:(3,0)3r2,4,1DEF22416DEF半径:圆心:(1,2)2r学科网圆的方程一般方程:标准方程:222()()xaybr圆心:半径:(,)abr(0)r220xyDxEyF22(40)DEF圆心:半径:(,)22DE22142DEF2222222()0xyaxbyabr22224()()224DEDEFxy展开配方练习2.将下列圆的标准方程化成一般方程:22(1)(2)3xy222420xyxy22(2)(1)7xy224220xyxy222()()xaybr22222220xyaxbyabr典例探究例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。222:()(),xaybr解一设所求圆的标准方程为依题意得22(5)5xy故ABC的外接圆的方程为:2222222224820261041240ababrababrababr2210066300abab55abab05ab25.r222222222(2)(4)(1)(3)(2)(6)abrabrabr5半径长为,圆心坐标为(0,5).典例探究例1、求过三点A(—2,4),B(—1,3),C(2,6)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。22:0,xyDxEyF解二设所求圆的标准方程为依题意得2210200xyy故所求圆的方程为:10030330DEDE1010DEDE010DE20F20240103040260DEFDEFDEF22(5)5.xy圆方程可化为:圆心(0,5),半径5练习:求过点的圆的方程,并求出这个圆的半径长和圆心.12(0,0),(1,1),(4,2)OMM解:设圆的方程为:220xyDxEyF因为都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即12,,OMM02042200FDEFDEF860DEF所以,圆的方程为:22860xyxy练习2:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并求这个圆的圆心坐标和半径长.3(2,3)(2,3)(3,0)(3,0)解:设圆的方程为:220xyDxEyF因为A,B,C都在圆上,所以其坐标都满足圆的方程,即93093013430DFDFDEF40,,93DEF圆的方程:224903xyy即:22285()39xy圆心:半径:8532(0,)3求圆方程的步骤:1.根据题意,选择标准方程或一般方程.若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;若已知圆经过两点或三点,通常设为一般方程;2.根据条件列出有关a,b,r,或D,E,F的方程组.3.解出a,b,r或D,E,F代入标准方程或一般方程.(待定系数法)例2方程表示的图形是一个圆，求a的取值范围.2222210xyaxayaa【变式1】方程x2＋y2＋x＋2y＋a－1＝0表示圆，试求实数a的范围．解由方程表示圆得，D2＋E2－4F＝12＋22－4(a－1)＝9－4a＞0，解得a＜，即a的取值范围是.49)49,(典例探究例2、已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆上运动，点M满足，求点M的轨迹方程.2BABM22(1)4xy变式、已知线段AB的端点B的坐标是（-4，3）,端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.22(1)4xy00((,),,(4,3)),2,,xMAxABMyByB解：设00(4,3)2(4,3)xyxy0024,23,xxyy2220021)41)4,xAyyx在圆(上,(2223)(23)4xy(2233)()122Mxy故，(为所求点的轨迹方程.坐标转移法练习3:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.22(1)4xy解:设M的坐标为(x,y),点A的坐标是.00(,)xy由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点,所以042xx032yy即:002423xxyy因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的方程,即:2200(1)4xy22(241)(23)4xy2233()()122xy点M的轨迹方程轨迹方程求法【变式4】已知一动点P到两个定点A(0,0)，B(3,0)的距离之比为12，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹的图形．解设动点P的坐标为(x，y)，则点P(x，y)满足，即，化简得x2＋y2＋2x－3＝0.即(x＋1)2＋y2＝4，所以动点P的轨迹是以点(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．21||||PBPA21)3(2222yxyx求轨迹方程的方法:若生成轨迹的动点随另一动点的变动而有规律地变动,可把Q点的坐标分别用动点P的坐标x,y表示出来,代入到Q点满足的已有的等式,得到动点P的轨迹方程00(,)Qxy(,)Pxy00,xy关键:列出P,Q两点的关系式.求动点轨迹的步骤:1.建立坐标系,设动点坐标M(x,y);2.列出动点M满足的等式并化简;3.说明轨迹的形状.课本P1346/平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点,这四点能否在同一圆上?分析:常用的判别A,B,C,D四点共圆的方法有A,B,C三点确定的圆的方程和B,C,D三点确定的圆的方程为同一方程求出A,B,C三点确定的圆的方程,验证D点的坐标满足圆的方程.例5已知点P（5，3），点M在圆x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和最小值.yCPMxoAB课后作业：2222:ABC0,10252062534052650,D(1,2)xyDxEyFEFDDEFEDEFFxyxy解设过、、的圆的方程为依题意得解得圆的方程为将代入上述方程，结果成立，故四点共圆。3．平面直角坐标系中有A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？，课后作业：22''''''''22'2'22222)(1)1.(,),(,),(0,2),2,(0,2)2(0,2),(,2)(2,24).2,22,2)(1)12)(1)1,22)(221)1,11)()2xyMxyBxyAABAMxyxyxyxyxxyyBxyxyxyxy解：圆方程可化为(设即在圆(上,((即(21.4M为所求点的轨迹方程4、已知A（0，2）,动点B在圆上运动，点M满足，求点M的轨迹方程.2ABAM224240xyxy小结：求圆的方程几何方法求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）求半径（圆心到圆上一点距离）写出圆的标准方程待定系数法xaybrxyDxEyF22222()()0)设方程为(或列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）