公开课(圆的一般方程)

4.1.2圆的一般方程二、[导入新课]1、想一想，若把圆的标准方程展开后，会得出怎样的形式？rbyax2)(2)(202222222rbabyaxyx（a,b,r均为常数）FrbaEbDa222,2,2令所以，任何一个圆方程可以写成下面形式：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0探究：是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线都是圆呢？例如（1）x2+y2-2x+4y-4=0（2）x2+y2-2x+4y+5=0（3）x2+y2-2x+4y+6=0叫做圆的一般方程配方可得：（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以不表示任何图形。（1）当D2+E2-4F0时，表示以（）为圆心，以()为半径的圆2,2EDFED42122（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解X=-D/2y=-E/2，表示一个点（）2,2ED22224()()224DEDEFxy探究圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0思考：圆的一般方程与标准方程的关系：（D2+E2-4F0）（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：x2与y2系数相同并且是1；圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2例1.若方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．解：（1）∵方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示圆，∴D2+E2﹣4F=（2m）2+（﹣2）2﹣4（m2+5m）＞0，即4m2+4﹣4m2﹣20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为（﹣∞，）．11例1.若方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0表示圆，求：（1）实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．解：（2）将方程x2+y2+2mx﹣2y+m2+5m=0写成标准方程为（x+m）2+（y﹣1）2=1﹣5m，可得圆心坐标为（﹣m，1），半径r=．练习：判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径．（1）x2+y2﹣2x+1=0；（2）x2+y2+20x+162=0；（3）x2+y2+4mx﹣2y+5m=0．例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。解：设所求的圆的方程为：022FEyDxyx∵02024020FEDFEDF0,6,8FED06822yxyx新疆学案王新敞542122FEDr32,42ED即圆心坐标为（4，-3）,r=5新疆学案王新敞A（0，0），B（1，1），C（4，2)在圆上还有其它方法吗？方法总结求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程;②根据已知条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组;③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程.课堂练习1．求下列各圆的方程：(1)过点A(5，1)，圆心在点C(8，-3)；(2)过三点A(-1，5)、B(5，5)、C(6，-2)．.048616)1(22yxyx.02024)2(22yxyx答案:(2)若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.(3).若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一般方程用待定系数法求解.课堂小结(1)圆的一般方程，及由一般方程求圆心，半径。作业：课本P123第1题P124第1题