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图论基础－与网络分析有关的基本概念图“节点”，以及哪些节点之间有“边”作为一个数学概念的“图”（graph）•节点，边（圆括号表示（x,y）中的元素次序无关）•标号图（labeledgraph），无标号图（graph）•同构，异构G(V,E),V={a,b,...},EÍ{(x,y)|x,yÎV,x¹y}（不一样的）图的个数（枚举）•给定节点数（n）–标号图？–无标号图？2n2æèççöø÷÷•Polya定理告诉我们如何计算无标号图的个数•如何判断两个图是否“同构”依然是图论的最基本挑战之一无标号图的个数无向图，有向图（directedgraph）•也可以是标号或者无标号的•x,y和y,x有可能同时存在G(V,E),V={a,b,...},EÍ{x,y|x,yÎV,x¹y}路，距离，连通，连通分量•路（path，路径，通路）：节点序列，相邻两个节点之间存在一条边–长度：节点数减1；或者，所涉及边的条数–简单路径，回路（仅端点相同的路径）•距离：两个节点之间最短路径的长度•连通图：任何两个节点之间都存在一条路•连通分量1.连通子图2.不被真包含在任何其他连通子图中例子：路，距离，连通分量•节点I和M之间有多少不同的路？–有多少不同的简单路径？•它们之间的距离？•({A,B},{(A,B)})是不是连通分量？•({H,L,M},{(H,L),(L,M),(H,M)})是不是连通分量？大规模社会网络中的超大连通分量桥，捷径（localbridge）•桥：具有特别性质的边，删除它，其两个端点之间就不再有路–删除它，增加图的连通分量的个数•捷径：也是一种边，删除它，其两个端点之间的距离至少为3。–桥可以看成是捷径的一个特例对于有向图：有向路径，强连通分量•有向路径：节点序列，相邻节点之间有从前往后的有向边•强连通分量(1)任意两个节点之间存在有向路径（两个方向）的有向子图(2)不被真包含在任何其他满足性质(1)的子图中({B,C,D},{B,C,C,D,D,B})二部图，图上的广度优先搜索•二部图（bipartitegraph）：节点可以被分成两组，组内没有边•图上的广度优先搜索（breadth-firstsearch）–从某一点开始，对图的节点的一种“遍历”方式从LINC开始广度优先搜索•{LINC}•{MIT,CASE}•{CARN,BBN,UTAH}•{HARV,SDC,RAND,SRI}•{UCSB,UCLA,STAN}BFS从概念上对图中的节点进行了一个“分层”，所涉及到的边“自然形成了”一个二部图典型现实网络（图）•合作图–例如，一群学者之间合著关系（co-authorship）–节点：人；边：当且仅当两个人有合著的文章•交流网–例如，一所大学师生之间的电子邮件关系网–节点：人；边：两人之间发过一定量的往返邮件•信息链接网（有向）–万维网上的网页之间的链接关系–论文之间的引用关系•…网络数据的计算机表示•邻接矩阵（adjacencymatrix）–相邻节点列表•关联矩阵（incidencematrix）–边序列0111100110011110éëêêêêùûúúúú11101001010000110011éëêêêêùûúúúú相邻节点列表1：2,3,42：1,43：1,44：1,2,3边序列1,21,31,42,43,4图的展示与分析工具•现实应用中，图一般都是首先从描述节点和边的数据而来•根据那些数据，适当地给出一个“形象表示”（即画出一个图），常常是很有必要的；而根据那些数据，得出某些结论更是网络分析所追求的目标•为此，人们开发了许多工具–Pajek,UCINET,NetMiner,MultiNet,X-Rime，等–Cuttlefish，一个简单易用工具的例子小结•网络无处不在，行行色色，对社会影响巨大•网络作为一门课程学习的两个重要角度：、；它们不同但相互影响。•图论：讨论网络结构的语言•作业–不用交的：阅读第1章，第2章；基于教材中的插图2.3，以UCLA为起始节点（根节点）画出该图的宽度优先搜索结果–下次课前交的：上网搜索，找到3个不同类型的网络图及其简单说明；第2章练习2.1练习2.1图论作为有效建模工具的原因之一在于它的灵活性。许多大型系统都可以用图论语言来概括其性质，进而系统地研究其影响结果。在这第一个练习中，我们利用关键节点的概念，通过一个例子来考察这个过程。首先，第2章所讲的两节点间最短路径对应该节点间的最短距离。对于节点Y和Z，若X存在于Y和Z之间所有最短路径上，则称X为Y和Z间的关键节点（假定X是不同于Y或Z的节点）。例如，在图2.13中，节点B是节点A和C之间、A和D之间的关键节点（注意：B并不是节点D和E之间的关键节点，因为D和E间存在两条不同的最短路径，而其中的一条（包含C和F）并不通过B。由此可见，B并不存在于D和E之间的所有最短路径上）。此外，我们能看到节点D不是图中任意两个节点之间的关键节点。练习2.1（续）（1）请举一个图例，使其满足以下条件：该图中每个节点均为至少一个节点对的关键节点。请就你的答案给出解释。（2）请举一个图例，使其满足以下条件：该图中每个节点均为至少两个节点对的关键节点。请就你的答案给出解释。（3）请举一个图例，满足以下条件：该图中包含至少4个节点，并存在一个节点X，它是图中所有节点对的关键节点（不包括含X的节点对）。请就你的答案给出解释。练习2.3当我们试图就一个图的节点间的距离寻找一个单一的综合衡量指标时，有两个自然的量值得考虑。一个是直径，我们定义它为图中所有两节点之间距离的最大值；另一个是平均距离，我们定义它为图中所有节点对距离的平均值。在许多图中，上述两个量在数值上的差别不大。但在有些图中它们则可能差的很远。（1）请给出一个直径比平均距离大三倍的图例；（2）请根据你解答问题(1)的方法，说明你可以通过改变某一特定因数的大小，来控制直径比平均距离大的倍数。（换句话说，对于任意数字c，你能否构造一个图，使其直径比平均距离大c倍？）