对数函数概念和质

细胞分裂的过程中，1个分裂成2个，2个分裂成4个，依此类推，…问题1：当细胞分裂成64个时，分裂了多少次？提示：6次．问题2：当细胞的数目确定时，分裂的次数是唯一确定的吗？提示：是唯一确定的．问题3：当已知细胞数目y时，分裂次数x如何表示？提示：由y＝2x可得x＝log2y.一般地，函数y＝叫做对数函数，它的定义域是．logax(a0，a≠1)(0，＋∞)考察函数y＝log2x和y＝log12x的图象．问题1：试作出这两个函数的图象．提示：问题2：它的图象与y轴有交点吗？为什么？提示：没有交点．因为x0.问题3：它的图象与x轴有公共点吗？y＝logax过这一点吗？提示：有公共点(1，0)，过．问题4：这两个函数的图象有什么关系？提示：关于x轴对称．问题5：它们的增减性怎样？提示：y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增．y＝log12x在(0，＋∞)上单调递减．a＞10＜a＜1图象对数函数的图象与性质性质定义域：值域：过点，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是单调在(0，＋∞)上是单调(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)增函数减函数问题1：作出函数y＝2x与y＝log2x的图象．提示：问题2：它们的图象有什么关系？提示：关于直线y＝x对称．指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为，其图象关于直线对称，一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作．反函数y＝xy＝f－1(x)1．对数函数是一个形式概念，只有形如y＝logax(a0，a≠1)的函数才是对数函数．如函数y＝log2x＋1，y＝log2(x＋1)，y＝2log2x等都不是对数函数．2．由指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)的关系不难发现其对应关系：由此可知：对数函数中的自变量x的范围等同于指数函数中的函数值范围；对数函数中的函数值的范围等同于指数函数中的自变量的范围．3．不论a(a0且a≠1)取何值，函数f(x)＝logax必过定点(1，0)，这是因为“不论底数为何值，1的对数等于0”．因此涉及与对数函数有关的定点问题，均可利用此性质求解．[例1]求下列函数的定义域．(1)f(x)＝log(x－1)(x＋2)；(2)f(x)＝log(1－2x)(3x＋2)；(3)f(x)＝1log2（x－1）.[思路点拨]根据对数式中底数、真数的范围列不等式(组)求解．[精解详析](1)由x－10，x－1≠1，x＋20得x1，x≠2，x－2，∴x1，x≠2.故函数的定义域是{x|x1且x≠2}．(2)由1－2x0，1－2x≠1，3x＋20得x12，x≠0，x－23，∴－23x12，x≠0.故函数的定义域是x|－23x12且x≠0.(3)由log2(x－1)≠0知x－1≠1，∴x≠2.又x－10，∴x1.故函数的定义域是{x|x1且x≠2}．[一点通]求函数的定义域就是求使函数的解析式有意义时自变量的取值范围．常用的方法有：①分母不等于零；②根指数为偶数时，被开方数为非负数；③对数的真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.2．求下列函数的定义域：(1)y＝log2（4x－3）；(2)y＝log5－x(2x－2)．解：(1)要使函数有意义，须满足：log2(4x－3)≥0＝log21，⇒1≤4x－3⇒x≥1，∴函数的定义域为[1，＋∞)．(2)要使函数有意义，须满足：2x－205－x05－x≠1⇒1x5且x≠4.∴函数的定义域为(1，4)∪(4，5).自主预习复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为．增函数减函数对于函数型复合函数y＝logaf(x)来说，函数y＝logaf(x)可看成是y＝logau与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域．对于形如y＝logaf(x)(a0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；(2)求f(x)的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝logau的单调性求解．学法指导：求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2)拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出复合函数的单调性．[例1]讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性．对数型复合函数的单调性1[解析]由3x2－2x－10，得函数的定义域为{x|x1或x－13}．当a1时，若x1，∵u＝3x2－2x－1为增函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．若x－13，∵u＝3x2－2x－1为减函数，∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数．当0a1时，若x1，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数，若x－13，则f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．求函数y＝log0.1(2x2－5x－3)的单调减区间．[解析]依题意，得2x2－5x－30.解得x－12或x3.令u＝2x2－5x－3，函数u的递减区间为(－∞，－12)，递增区间为(3，＋∞)，则y＝log0.1(2x2－5x－3)的递减区间为(3，＋∞).学法指导：求复合函数y＝f[g(x)]值域的方法设y＝f(t)，t＝g(x)，先求t＝g(x)的值域再求y＝f(x)的值域．[例2]求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log12(3＋2x－x2)．对数型复合函数的值域2[解析](1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．(2)设u＝3＋2x－x2，则u＝－(x－1)2＋4≤4.∵u0，∴0u≤4.又y＝log12u在(0，＋∞)上是减函数，∴log12u≥log124＝－2，∴y＝log12(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}．[例3]判断下列函数的奇偶性．(1)y＝log2|x|；(2)y＝lg1－x1＋x；(3)y＝lg(x－1)＋lg(x＋1)．对数型复合函数的奇偶性3[解析](1)设f(x)＝log2|x|，f(－x)＝log2|－x|＝log2|x|＝f(x)，∴f(x)＝log2|x|为偶函数．(2)设f(x)＝lg1－x1＋x，f(－x)＝lg1＋x1－x＝lg(1－x1＋x)－1＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，∴y＝lg1－x1＋x为奇函数．(3)由于x－10x＋10，∴x1，定义域不关于原点对称．∴此函数不具备奇偶性．判断下列函数奇偶性：(1)y＝log2x2；(2)y＝|log12x|；(3)y＝lg(1－x)＋lg(1＋x)．[答案](1)偶函数；(2)非奇偶性；(3)偶函数．•4．若函数y＝log2(x2－2)的值域为[1，log214]，则其定义域为________．•解析∵1≤log2(x2－2)≤log214，•∴2≤x2－2≤14，∴4≤x2≤16，•∴2≤x≤4或－4≤x≤－2，•∴定义域为[－4，－2]∪[2,4]．•答案[－4，－2]∪[2,4]4．设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝()A.2B．2C．22D．4[答案]D[解析]由a1知，f(x)＝logax在区间[a,2a]上为增函数，所以f(x)max＝loga2a＝1＋loga2，f(x)min＝logaa＝1，所以loga2＝12，得a＝4.[例1]已知f(x)＝(6－a)x－4a(x1)logax(x≥1)是(－∞，＋∞)上的增函数，求a的取值范围．[分析]f(x)在R上单调增，故在(－∞，1)和[1，＋∞)上都单调增，且在[1，＋∞)上的最小值不小于(6－a)×1－4a.[解析]f(x)是R上的增函数，则当x≥1时，y＝logax是增函数，∴a1.又当x1时，函数y＝(6－a)x－4a是增函数，∴6－a0，∴a6.又由(6－a)×1－4a≤loga1得，a≥65.∴65≤a6.[例2]作出函数y＝|log2(x＋1)|＋2的图象，并指出其单调区间．[思路点拨]按下列顺序作图，作图后再观察得出单调区间．y＝log2x→y＝log2(x＋1)→y＝|log2(x＋1)|→y＝|log2(x＋1)|＋2.[精解详析]第一步：作出y＝log2x的图象，如图(1)．第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位得到y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴的上方得到y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴方向向上平移2个单位，得到y＝|log2(x＋1)|＋2的图象，如图(4)．由图可知，函数的单调递减区间是(－1，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．[一点通]按函数图象的平移，翻折变换作图，先作出基本的函数y＝f(x)图象，然后再按顺序作函数y＝|f(x＋a)|＋b的图象．3．已知a0且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)在同一坐标系中的图象为________(填序号)．解析：法一：首先，曲线y＝ax位于x轴上方，y＝loga(－x)位于y轴左侧，从而排除(1)(3)．其次，从单调性入手，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除(4)．法二：若0a1，则曲线y＝ax下降且过点(0，1)，而曲线y＝loga(－x)上升且过点(－1，0)，所有选项均不符合这些条件．若a1，则曲线y＝ax上升且过点(0，1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1，0)，只有(2)满足条件．法三：如果注意到y＝loga(－x)的图象关于y轴的对称图象为y＝logax，又y＝logax与y＝ax互为反函数(图象关于直线y＝x对称)，则可直接选定(2)．答案：(2)4．如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a值取3，43，35，110，则相应于C1、C2、C3、C4的a值依次为________．解析：过点(0，1)作平行于x轴的直线，与C1、C2、C3、C4的交点的坐标为(a1，1)、(a2，1)、(a3，1)、(a4，1)，其中a1、a2、a3、a4分别为各对数的底数，显然a1a2a3a4，所以C1、C2、C3、C4的底数值依次为3、43、35、110.答案：3、43、35、110[例3]比较下列各组数的大小：(1)log0.13与log0.1π；(2)log45与log65；(3)3log45与2log23.[思路点拨]所给的四组数的大小均与对数有关，可借助对数函数的单调性比较大小．[精解详析](1)∵函数y＝log0.1x是减函数，π3，∴log0.13log0.1π.(2)∵函数y＝log4x和y＝log6x都是增函数，∴log45log44＝1，log65log66＝1.∴log45log65.(3)∵3log45＝log453＝log4125＝log2125log24＝12log2125＝log2125，2log23＝log232＝log29，又∵函数y＝log2x是增函数，1259，∴log2125log29，即3log452log23.[一点通]比较两个对数值的大小与比较两个指数值的大小的方法基本类似．当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；当底数不同时，可用换底公式或找中间值联系传递，如取0，1，－1等进行比较．5．(2012·天津高考改编)已知a＝21.2，b＝(12)－0.8，c＝2log52