必修1-3.2.1-2几种不同增长的函数模型讲解

3.2.2几类不同增长的函数模型复习旧知•一次函数、对数函数、指数函数模型的增长差异：•指数函数模型的增长速度比一次函数模型增长的速度要快很多，而一次函数模型的增长速度又比对数函数模型的增长速度要快很多。•指数函数的增长速度先慢后快，对数函数的增长先快后慢，一次函数的增长是匀速的。0yx20040060010006543217•1．三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升随x增大逐渐上升怎样呢？种差异的具体情况到底的增长是有差异的，这（对数函数幂函数（指数函数)1alog),0(),1ayxynxyaanx问题探究底怎样呢？这种差异的具体情况到的增长是有差异的，函数xyxyx22log,,2y0yx123565432172xyxy2xy2log注：几何画板-课本P99探究-补充（练习1）练习2：课本P99观察练习1：课本P99思考注：几何画板-课本P100图5、图6、探究.x的取值较小时，以上三个函数的图象：•2.函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)增长速度的对比：•(1)对于指数函数y＝ax(a1)和幂函数y＝xn(n0)，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.•(2)对于对数函数y＝logax(a1)和幂函数y＝xn(n0)，在区间(0，＋∞)上，尽管在x的一定范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn.•(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a1)，y＝logax(a1)和y＝xn(n0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxnax.•●想一想：当0a1，n0时，y＝ax，y＝xn，y＝logax为减函数，其“衰减”速度如何？你能借助图象，类比分析吗？•提示：如下图所示：•对于函数y＝ax(0a1)，y＝xn(n0)，y＝logax(0a1)尽管都是减函数，但它们的衰减速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x的增大，y＝ax(0a1)的衰减速度越来越慢，会远远小于y＝xn(n0)的衰减速度，而y＝logax(0a1)的衰减速度则越来越快，因此总会存在一个x0，当xx0时，就有logaxxnax.•解析：指数函数模型增长速度最快，故选C.•答案：C1．下列函数中，随着x的增大，增长速度最快的是()A．y＝50B．y＝1000xC．y＝2x－1D．y＝11000lnx•2.右图所示的曲线反映的是下列哪种函数的增长趋势？()•A．一次函数•B．幂函数•C．对数函数•D．指数函数•答案：C•3．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表：•则关于x分别呈对数函数，指数函数，幂函数变化的变量依次为()•A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3•C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y356.106.616.9857.27.4答案：C•4．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：•其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．•解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.•答案：y1x12345678…y1248163264128256…y21491625364964…y3011.58522.3222.5852.8073…课时小结•通过实例和具体函数图象体会到指数增长、幂函数增长和对数增长三种不同模型增长的含义和差异。•能够体会到，由于有指数增长先慢后快、对数增长先快后慢、幂函数增长平衡的速度差异，所以总会存在一个x0，当xx0时，logaxxnax.下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：x0.20.61.01.41.82.22.63.03.4…y＝2x1.1491.51622.6393.4824.5956.063810.556…y＝x20.040.3611.963.244.846.76911.56…y＝log2x－2.322－0.73700.4850.8481.1381.3791.5851.766…课后作业问：(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？•解：(1)随着x的增长，各函数的函数值都增大．•(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．