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3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型三种函数模型的性质y=ax(a1)y=logax(a1)y=xn(n0)在(0,+∞)上的增减性_____________________图象的变化随x增大逐渐与________随x增大逐渐与________随n值而不同增长速度①y=ax(a1):随着x的增大,y增长速度_________,会远远大于y=xn(n0)的增长速度,y=logax(a1)的增长速度_________②存在一个x0,当xx0时,有___________增函数增函数增函数y轴平行x轴平行越来越快越来越慢axxnlogax判断：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些.()(2)当a＞1，n＞0时，在区间(0,+∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立.()(3)能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数.()提示：(1)错误.由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的增长速度.(2)错误.不是对于任意的x成立，但总存在x0，使得当a＞1，n＞0，x＞x0时，logax＜xn＜ax成立.(3)正确.指数型函数模型是能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.答案：(1)×(2)×(3)√【知识点拨】1.三类函数模型的增长差异(1)对于幂函数y=xn,当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n越大时,增长速度越快.(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y=x对称，从而可知，当a越大时，y=ax增长越快；当a越小时，y=logax(a＞1)增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,a＞1).(3)指数函数与幂函数，当x＞0,n＞0,a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是“爆炸型”函数,当x大于某一个确定值x0后,就一定有ax＞xn.2.由增长速度确定函数模型的技巧(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型.(2)增长速度最快即呈现“爆炸”式增长的函数模型应该是指数型函数模型.(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型.(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型.类型一函数模型的增长差异【典型例题】1.下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A.y＝50xB.y＝x50C.y＝50xD.y＝log50x(x∈N*)2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在［0,+∞)上的增长情况.【解题探究】1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什么？2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？探究提示：1.是确定变量间的关系,不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值比较,还要看函数的变化趋势.2.对数函数模型变化规律是先快后慢,增长速度比较平缓,指数函数模型变化规律是先慢后快,增长速度急剧上升.【解析】1.选C.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x越来越大时，函数y=50x增长速度最快．故选C.2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象(如图),从图象上可以看出函数y=0.5ex-2的图象首先超过了函数y=ln(x+1)的图象,然后又超过了y=x2-1的图象,即存在一个x0满足当x＞x0时,ln(x+1)x2-10.5ex-2.0x200.5e2x1,【拓展提升】三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a＞0,b＞1)表达的函数模型,其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,x＞0,a＞1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.【变式训练】若x∈(0,1)，试分析三个函数模型y=2x，y=lgx的增长差异，用“＞”把它们的取值大小关系连接起来为______.【解题指南】关键看在(0,1)上它们的大小关系，可借助中间值“0”与“1”比较.【解析】当x∈(0,1)时，2x＞1,1＞＞0,lgx＜0,所以2x＞＞lgx.答案：2x＞＞lgx12yx，12x12x12x类型二图象信息迁移题【典型例题】1.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点2.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费______元.(2)通话5分钟，需付电话费______元.(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为______.【解题探究】1.路程和时间存在着何种关系？当路程一定时，时间和速度有何关系？2.通过观察题2的图象可以确定此函数是什么函数?探究提示：1.路程和时间的关系为s=vt，当路程一定时，时间和速度的关系为成反比例关系.2.由题2图象可以看出对应的函数为分段函数.stv，【解析】1.选D.从图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．2.(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元.(2)由图象可知，当t=5时，y=6，需付电话费6元.(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y=kt+b，则解得故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y=1.2t(t≥3).答案：(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t≥3)3kb3.6,5kb6，k1.2b0.，【互动探究】题2中的已知条件不变，若通话费用为4.5元，则通话时间是多少？【解析】由题2的解析结合图象可知，当y=4.5元时，通话时间超过3分钟，故电话费与时间满足函数关系式y=1.2t(t≥3),∴4.5=1.2t,∴t=3.75(分钟).故若通话费用为4.5元时，通话时间为3.75分钟.【拓展提升】1.图象信息题的解答策略(1)明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义．(2)从图象形状上判定函数模型.(3)抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等.(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.2.确定分段函数的解析式的注意事项(1)首先读懂题目所给的函数图象,借助图象处理问题.(2)明确函数的自变量的取值范围，即分段的自变量的关键点.(3)各个段中所对应的函数解析式是何种函数式，是一次、二次函数还是其他基本函数.类型三方案选择问题【典型例题】1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数2.学校请了30名木工，要制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌与制作一把椅子的工时数之比为10∶7，问30名工人应当如何分组(一组制课桌，另一组制椅子)能使完成全部任务最快？【解题探究】1.对数型函数的增长有何特点？2.解答应用题的关键是什么？探究提示：1.先快速增长，后来越来越慢.2.解应用题的关键是建模，通过对已知条件的综合分析，归纳抽象，并与熟知的函数模型相比较，以确定函数模型的类型.【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢.2.设x名工人制课桌，(30－x)名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制7张课桌或10把椅子，∴制作100张课桌所需时间为函数制作200把椅子所需时间为函数完成全部任务所需的时间f(x)为P(x)与Q(x)中的较大值．欲使完成任务最快，需使P(x)与Q(x)尽可能接近(或相等)．令P(x)＝Q(x)，即解得x＝12.5，∵x∈N，考察x＝12和13的情形,有P(12)≈1.19，Q(12)≈1.111，P(13)≈1.099，Q(13)≈1.176.100Px7x＝，200Qx1030x＝，－1002007x1030x＝，－∴f(12)＝1.19，f(13)＝1.176，∵f(12)f(13)，∴x＝13时，f(x)取最小值，∴用13名工人制作课桌，17名工人制作椅子完成任务最快．【拓展提升】解函数应用题的四个步骤第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.第二步:引进数学符号,建立数学模型.一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学方法解答得到的常规数学问题(即数学模型),求得结果.第四步:再转译成具体问题作出解答.【变式训练】某债券市场发行三种债券，A种面值为100元，一年到期本息和为103元；B种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为()A.B,A,CB.A,C,BC.A,B,CD.C,A,B【解析】选B.A种债券的收益是每100元收益3元；B种债券的利率为所以100元一年到期的本息和为收益为5.68元；C种债券的利率为100元一年到期的本息和为收益为3.09元．51.45050－，251.450100(1)105.6850－＋元，1009797－，10097100(1)103.0997－＋元，【易错误区】比较大小时错用图象致误【典例】(2012·南充高一检测)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3,在同一坐标系下作出它们的图象,结合图象比较f(8),g(8),f(2013)，g(2013)的大小为______.【解析】列表为：描点、连线，得如图所示图象：则函数f(x)=2x对应的图象为C2,函数g(x)=x3对应的图象为C1①,x...-10123...f(x)...1248...g(x)...-101827...12∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1000,f(10)=1024,∴f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2＜2013.从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x),当x＞x2时，f(x)＞g(x),且g(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(2013)＞g(2013)＞g(8)＞f(8).答案：f(2013)＞g(2013)＞g(8)＞f(8)【类题试解】已知16＜x＜20，利用图象可判断出和log2x的大小关系为_______.12x【解析】作出f(x)=和g(x)=log2x的图象,如图所示:由图象可知:在(0,4)内,＞log2x;x=4或x=16时,=log2x;在(4,16)内＜lo