现代机械控制工程第三章

第三章时间响应分析一、时间响应及其组成1、时间响应定义：在输入作用下，系统的输出（响应）在时域的表现形式，在数学上，就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解。时间响应能完全反映系统本身的固有特性与系统在输入作用下的动态历程。2、时域分析的目的2、典型示例分析tFtkytymcos)()(动力学方程：在时间域，研究在一定的输入信号作用下，系统输出随时间变化的情况，以分析和研究系统的控制性能。优点：直观、简便wtkFtwBtwAtynncos11cossin)(2理论，该方程的解为：根据微分方程解的结构nnnnwwmkwwtkFtwBtwA/,/cos11cossin2有频率　　为系统的无阻尼固的特解，是系统的通解，211)0(,)0()0()(),0()(0kFyBwyAytyytytn故时，设则有：wtkFtwkFtwytwwytynnnncos11cos11cos)0(sin)0()(22其解可分解为：3、一般情况时，：当系统的动力学方程为)()()()()(0111txtyatyatyatyannnn为方程的特征根方程解的一般形式为：initsinitsistBeAeAtyii),()(1211其解可分解为：结论：1)系统的阶次n和si取决于系统的固有特性，与系统的初态无关。0)]()([)()21入为决于系统的初态的零输态为零，故取数时，已指明系统的初因在定义系统的传递函零状态响应，所求得的输出是系统的由sXsGLty)()()()()3''tytxtytx的输出为引起，则引起的输出为对于线性定常系统，若4、瞬态响应和稳态响应系统的特征根影响系统自由响应的收敛性和振荡。若所有的Resi0，则随着时间的增加，自由响应逐渐衰减，当t-无穷时，自由响应趋于0（也就是系统的极点都在左半平面），系统稳定，自由响应称为瞬态响应；反之，若有一个Resi0，则自由响应逐渐增大，当t-无穷时,自由响应趋于无穷，自由响应不称为瞬态响应。稳态响应一般就是指强迫响应。特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况，虚部绝对值越大，则自由响应项的振荡越剧烈。二、典型输入信号1、定义:一般，系统可能受到的外加作用有控制输入和扰动，扰动通常是随机的，即使对控制输入，有时其函数形式也不可能事先获得。在时间域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号建立分析比较的基础。这些信号称为控制系统的典型输入信号。2、作用:在实际中，输入信号很少是典型输入信号，但由于在系统对典型输入信号的时间响应和系统对任意输入信号的时间响应之间存在一定的关系，所以，只要知道系统对典型输入信号的响应，再利用关系式：)(22)(11)()()(siosioXsXsGXsX就能求出系统对任何输入的响应。3、对典型输入信号的要求形式简单，便于解析分析；能够使系统工作在最不利的情形下；实际中可以实现或近似实现。4、常用的典型输入信号Asint正弦信号1(t)，t=0单位脉冲信号单位加速度信号t，t0单位速度(斜坡)信号1(t)，t0单位阶跃信号复数域表达式时域表达式名称s121s31s22sA0,212tt能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；5、典型输入信号的选择原则如：若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号；若实际系统的输入随时间逐渐变化，则可选速度信号。注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号，由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。三、一阶系统的时间响应1、一阶系统（惯性环节）11)(TssG极点（特征根）：-1/T时间常数，微分方程：:)()()(TtxtxdttdxTioo2、一阶系统的单位脉冲响应1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTtoxo(t)1/T0t0.3681T斜率xo(t)T21T一阶系统单位脉冲响应的特点瞬态响应：(1/T)e–t/T；稳态响应：0；xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减；对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉冲代替理想脉冲信号。201)(Tdttdxto3、一阶系统的单位阶跃响应ssXi1)(TsssTssXsGsXio111111)()()(0,1)(tetxTto10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)(63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T一阶系统单位阶跃响应的特点响应分为两部分瞬态响应：Tte表示系统输出量从初态到终态的变化过程（动态/过渡过程）稳态响应：1表示t时，系统的输出状态xo(0)=0，随时间的推移，xo(t)指数增大，且无振荡。xo()=1，无稳态误差；xo(T)=1-e-1=0.632，即经过时间T，系统响应达到其稳态输出值的63.2%，从而可以通过实验测量惯性环节的时间常数T；Tdttdxto1)(0时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时，认为系统响应过程基本结束。从而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：即ln[1-xo(t)]与时间t成线性关系。该性质可用于判别系统是否为惯性环节，以及测量惯性环节的时间常数。)(1txeoTt)(1ln1txtTotln[1-xo(t)]04、一阶系统的单位速度响应21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto0txo(t)xi(t)xo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT一阶系统单位速度响应的特点瞬态响应：Te–t/T；稳态响应：t–T；经过足够长的时间(稳态时，如t4T)，输出增长速率近似与输入相同，此时输出为：t–T，即输出相对于输入滞后时间T；系统响应误差为：TeeTtxtxteTtoi)()1()()()(5、线性定常系统时间响应的性质系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量共同组成，前者反映系统的稳态特性，后者反映系统的动态特性。注意到：tdtdttdtdt)(1)(1)(TtotTtoTtoTeTttxetxeTtx)(1)(1)(1对一阶系统：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo即：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输入信号响应的导数。同样可知，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响应的积分，其积分常数由初始条件确定。这种输入－输出间的积分微分性质对任何线性定常系统均成立。6、不同时间常数下的响应情况由上图可知，T越大，惯性越大。一阶系统的性能指标：ts,它是一阶系统在阶跃输入作用下，达到稳态值的(1-△)所需的时间(△为容许误差)。△=2%,ts=4T,△=5%,ts=3T，调整时间反映系统响应的快速性，T越大，系统的惯性越大，调整时间越长，响应越慢。四、二阶系统的时间响应1、二阶系统222222121)(nnnssTssTsG其中，T为时间常数，也称为无阻尼自由振荡周期，为阻尼比；n＝1/T为系统的无阻尼固有频率。二阶系统的特征方程：0222nnss极点（特征根）：122,1nnp欠阻尼二阶系统（振荡环节）：01具有一对共轭复数极点：dnnnjjp22,11系统时域响应含有衰减的复指数振荡项：tjttjdndneee)(其中，21nd称为阻尼振荡频率。临界阻尼二阶系统：＝1具有两个相等的负实数极点：np2,1系统包含两类瞬态衰减分量：ttnntee,过阻尼二阶系统：1具有两个不相等的负实数极点：122,1nnp系统包含两类瞬态衰减分量：tnn1exp2零阻尼二阶系统：＝0具有一对共轭虚极点：njp2,1系统时域响应含有复指数振荡项：tjne负阻尼二阶系统：0极点实部大于零，响应发散，系统不稳定。2、二阶系统的单位脉冲响应01：0,sin1)(2ttetxdtnon222211)1()()()(nnnowwswLsGLtx=1：0,)(2ttetxtnon=0：0,sin)(tttxnno1：012)(11222teetxttnonn3、二阶系统的单位阶跃响应ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX欠阻尼（01）状态0),sin(11)(2ttetxdton其中，21ndarccos12arctg欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tp=0.2=0.4=0.6=0.8t欠阻尼二阶系统单位阶跃响应的特点xo()=1，无稳态误差；瞬态分量为振幅等于的阻尼正弦振荡，其振幅衰减的快慢由和n决定。阻尼振荡频率；21tne21nd振荡幅值随减小而加大。10txo(t)特点单调上升，无振荡、无超调；xo()=1，无稳态误差。临界阻尼（=1）状态0,)1(1)(tettxtnon过阻尼（1）状态0)11(21)11(211)()1(22)1(2222teetxttonn，01txo(t)特点单调上升，无振荡，过渡过程时间长xo()=1，无稳态误差。无阻尼（=0）状态0,cos1)(tttxno210txo(t)特点频率为n的等幅振荡。负阻尼（0）状态0txo(t)-10t0xo(t)-1-10：输出表达式与欠阻尼状态相同。-1：输出表达式与过阻尼状态相同。特点：振荡发散特点：单调发散几点结论二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：0时，阶跃响应发散，系统不稳定；1时，无振荡、无超调，过渡过程长；01时，有振荡，愈小，振荡愈严重，但响应愈快，=0时，出现等幅振荡。工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常采用欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.4~0.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。一定时，n越大，瞬态响应分量衰减越迅速，即系统能够更快达到稳态值，响应的快速性越好。5、例题例1单位脉冲信号输入时，系统的响应为：求系统的传递函数。toetx657)(解：由题意Xi(s)=1，所以：]57[)]([)()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss例2解：1）单位阶跃输入时已知系统传递函数：求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。2)1(12)(sssG11)1(11)1(12)()()(22sssssssXsGsXio从而：ttooetesXLtx1)]([)(2）单位脉冲输入时，由于)](1[)(tdtdt因此：ttooteetxdtdtx2)()(16、二阶系统的性能指标控制系统的时域性能指标控制系统的性能指标是评价系统动态品质的定量指标，是定量分析的基础。系统的时域性能指标通常通过系统的单位阶跃响应进行定义。常见的性能指标有：上升时间tr、峰值时间tp、调整时