理论力学 18机械振动基础

理论力学振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。利：振动给料机弊：磨损，减少寿命，影响强度振动筛引起噪声，影响劳动条件振动沉拔桩机等消耗能量，降低精度等。3.研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动为人类服务。2.振动的利弊：1.所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。4.振动的分类：单自由度系统的振动按振动系统的自由度分类多自由度系统的振动弹性体的振动按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动有阻尼的自由振动，衰减振动强迫振动：无阻尼的强迫振动有阻尼的强迫振动自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。第十四章机械振动基础§14–1单自由度系统的自由振动§14–2单自由度系统的受迫振动§14-1单自由度系统的自由振动一、自由振动的概念：运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力。物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动。)/(0,22mkxxkxxmnn质量—弹簧系统：单摆：复摆：)5,/(0,)5,/(0,22222ImgamgaIlgmglmlnnnn二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解对于任何一个单自由度系统，以q为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的运动微分方程必将是：0cqqaa,c是与系统的物理参数有关的常数。令acn/2则自由振动的微分方程的标准形式：02qqn解为：)sin(tAqn0022020arctg,qqqqAnn设t=0时，则可求得：00,qqqq或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始条件决定为nqCqC/,0201tqtqqnnnsincos00三、自由振动的特点：A——物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。nt+——相位，决定振体在某瞬时t的位置——初相位，决定振体运动的起始位置。T——周期，每振动一次所经历的时间。f——频率，每秒钟振动的次数，f=1/T。——固有频率，振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。nT2n无阻尼自由振动的特点是：(2)振幅A和初相位取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1)振动规律为简谐振动；(3)周期T和固有频率仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I)。n四、其它1.如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。2.弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度212121212211,)(,kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并联2121eq21212121k)11()11(kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串联并联串联1.由系统的振动微分方程的标准形式2.静变形法：3.能量法：五、求系统固有频率的方法02qqnstngst：集中质量在全部重力作用下的静变形n由Tmax=Umax,求出无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkUstst])[(2122max2max21kAUmgkst222max2121nmAxmT如：mkkAmAUTnn2121222maxmax由能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。例1图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量m，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。解：以x为广义坐标（静平衡位置为坐标原点）RkgRmMst2)(gkmMst2则任意位置x时：kxgmMxkFst22)2(静平衡时：应用动量矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23(212由，有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23(振动微分方程：固有频率：mMkxmMkxn2380238解2：用机械能守恒定律以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）22222)23(2121)(22121xmMxmRxMRxMT以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22)(])2[(2222因平衡时gxmMxkst)(222kxU由T+U=有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmMmMkxmMkxn2380238对时间t求导，再消去公因子，得x例2鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径r，弹簧刚度，重物质量为m,不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21,kk解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：))()(()(21]))[((21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax][21)(21)(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系统的最大势能为：设则有)sin(nAxnAxAxmaxmax,)(212)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根据Tmax=Umax,解得222221)()()(rRmRMRkkn有阻尼自由振动一、阻尼的概念：阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vcR投影式：xcRxc——粘性阻尼系数，简称阻尼系数。二、有阻尼自由振动微分方程及其解：质量—弹簧系统存在粘性阻尼：xckxxm022,22nxxnxmcnmkn则令有阻尼自由振动微分方程的标准形式。其通解分三种情况讨论：1、小阻尼情形mkcnn2)()sin(tAexdnt22nnd—有阻尼自由振动的圆频率则时设,,,000xxxxt0022012220020tg;)(nxxnxnnxxxAnn衰减振动的特点：(1)振动周期变大，频率减小。mkcnnTnndd212222222——阻尼比有阻尼自由振动：当时，可以认为nn1TTdnd222111ndddffTT(2)振幅按几何级数衰减对数减缩率212lnln21dnTiinTeAAd2、临界阻尼情形临界阻尼系数)1,(nnmkcc2])([000tnxxxexnt),,(at00xxxxt0ddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相邻两次振幅之比可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。)(222221tntnntnneCeCex代入初始条件),,0(00xxxxt时220022222022012)(;2)(nnnnnxxnnCnxnnxC)1,(nn)(ccc3、过阻尼（大阻尼）情形所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x0，不具备振动特性。例3质量弹簧系统，W=150N，st=1cm,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系数c。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：20)(16.08.0dnTe21220205lnnndnT由于很小，405ln)s/cmN(122.098011502405ln2405ln22stWgWmkc§14-2单自由度系统的受迫振动一、受迫振动的概念受迫振动：在外加激振力作用下的振动。简谐激振力：H—力幅；—激振力的圆频率；—激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm则令,2mHhmkn)sin(2thxxn无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解21xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为特解)sin(,22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：稳态强迫振动3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。(1)=0时kHhbn20(2)时，振幅b随增大而增大；当时，nbn(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差。radn22nhbb随增大而减小；0;,20bbbn时时—振幅比或称动力系数—频率比—曲线幅频响应曲线（幅频特性曲线）14、共振现象,时nb，这种现象称为共振。此时，)cos(2tBtxn)cos(222tthxhBnnn单自由度系统的有阻尼受迫振动一、有阻尼受迫振动微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin,,tHxckxxmsin将上式两端除以m，并令mHhmcnmkn;2;2thxxnxnsin22有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。21xxxx1是齐次方程的通解)02(2xxnxn小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、积分常数，取决于初始条件）x2是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb—强迫振动的振幅—强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22tbtAexnnt衰减振动强迫振动振动开始时，二者同时存在的过程——瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程——稳态过程。需着重讨论部分。nnnbb;,0令频率比振幅比阻尼比因此：2222212tg;4)1(1二、阻尼对强迫振动的影响1、振动规律简谐振动。2、频率：有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅)sin(2tbx(1),1,)(1时n可不计阻尼。,0bb(2),0,)(1时n阻尼也可忽略。时时0.70,)(1n(3)阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。222212,0nnnddb得由—共振频率此时：20max22max122bbnnhbn或2,,10m