一元二次方程与动点及答案

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资源描述

1、如图,在△ABC中,∠B=90°,BC=12cm,AB=6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?2.△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=6cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.设运动时间为t秒.(1)填空:BQ=,PB=(用含t的代数式表示);(2)当t为何值时,PQ的长度等于5cm?(3)是否存在t的值,使得△PBQ的面积等于4cm2?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.PCABQ←↑3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8.点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.设P、Q分别从A、B同时出发,运动时间为t,当其中一点先到达终点时,另一点也停止运动.解答下列问题:(1)经过几秒,△PBQ的面积等于8cm2?(2)是否存在这样的时刻t,使线段PQ恰好平分△ABC的面积?若存在,求出运动时间t;若不存在,请说明理由.4.如图所示,△ABC中,∠B=90°,点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒,使△PBQ的面积等于8cm2?(2)如果P,Q分别从A,B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒,使△PCQ的面积等于12.6cm2?5.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从A、C同时出发,点P以3厘米每秒的速度向点B移动,一直到达点B为止.点Q以2厘米每秒的速度向点D移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10厘米?6.如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=16cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2cm/s的速度向点B移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?QPBDAC7.如图,有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰△PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线l上,当C、Q两点重合时,等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线l按箭头所示方向开始匀速运动,t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2.解答下列问题:(1)当t=3秒时,求S的值;(2)当t=5秒时,求S的值;(3)当5秒≤t≤8秒时,求S与t的函数关系式.8.2012•重庆模拟)如图,已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为6cm,QR=12cm,AB与QR在同一条直线l上.开始时点Q与点B重合,让△PQR以1cm/s速度在直线l上运动,直至点R与点A重合为止,设运动时间为t(s),t>0.(1)点P与点D重合时,令PR与BC交于M点,求PM的长度;(2)设△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积为Scm2,直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围;(3)在运动的过程中,令线段PR与线段AD的交点为N(若无交点则不考虑),则是否存在t的值,使△NQR为等腰三角形?若存在,求出相应的t的值;若不存在,请说明理由.9.(2012•市南区模拟)如图,已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4cm,QR=8cm,AB与QR在同一直线l上,开始时点Q与点A重合,让△PQR以1cm/s的速度在直线l上运动,同时M点从点Q出发以1cm/s沿QP运动,直至点Q与点B重合时,都停止运动,设运动的时间为t(s),四边形PMBN的面积为S(cm2).(1)当t=1s时,求S的值;(2)求S与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围(不考虑端点);(3)是否存在某一时刻t,使得四边形PMBN的面积?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由;(4)是否存在某一时刻t,使得四边形PMBN为平行四边形?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.10.如图1,在长为44,宽为12的矩形PQRS中,将一张直角三角形纸片ABC和一张正方形纸片DEFG如图放置,其中边AB、DE在PQ上,边EF在QR上,边BC、DG在同一直线上,且Rt△ABC两直角边BC=6,AB=8,正方形DEFG的边长为4.从初始时刻开始,三角形纸片ABC,沿AP方向以每秒1个单位长度的速度向左平移;同时正方形纸片DEFG,沿QR方向以每秒2个单位长度的速度向上平移,当边GF落在SR上时,纸片DEFG立即沿RS方向以原速度向左平移,直至G点与S点重合时,两张纸片同时停止移动.设平移时间为x秒.(1)请填空:当x=2时,CD=2,DQ=4,此时CD+DQ=CQ(请填“<”、“=”、“>”);(2)如图2,当纸片DEFG沿QR方向平移时,连接CD、DQ和CQ,求平移过程中△CDQ的面积S与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围(这里规定线段的面积为零);(3)如图3,当纸片DEFG沿RS方向平移时,是否存在这样的时刻x,使以A、C、D为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求出对应x的值;若不存在,请说明理由.11.(2013•长春)如图①,在▱ABCD中,AB=13,BC=50,BC边上的高为12.点P从点B出发,沿B﹣A﹣D﹣A运动,沿B﹣A运动时的速度为每秒13个单位长度,沿A﹣D﹣A运动时的速度为每秒8个单位长度.点Q从点B出发沿BC方向运动,速度为每秒5个单位长度.P、Q两点同时出发,当点Q到达点C时,P、Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t(秒).连结PQ.(1)当点P沿A﹣D﹣A运动时,求AP的长(用含t的代数式表示).(2)连结AQ,在点P沿B﹣A﹣D运动过程中,当点P与点B、点A不重合时,记△APQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式.(3)过点Q作QR∥AB,交AD于点R,连结BR,如图②.在点P沿B﹣A﹣D﹣A运动过程中,当线段PQ扫过的图形(阴影部分)被线段BR分成面积相等的两部分时t的值.(4)设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′,直接写出C′D′∥BC时t的值.12.(2006•青岛)如图①,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,∠C=90°,EG=4cm,∠EGF=90°,O是△EFG斜边上的中点.如图②,若整个△EFG从图①的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在△EFG平移的同时,点P从△EFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,当点P到达点F时,点P停止运动,△EFG也随之停止平移.设运动时间为x(s),FG的延长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(cm2)(不考虑点P与G、F重合的情况).(1)当x为何值时,OP∥AC;(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13:24?若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.(参考数据:1142=12996,1152=13225,1162=13456或4.42=19.36,4.52=20.25,4.62=21.16)1.解:设x秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2,由题意可得:2x(6-x)÷2=8解得x1=2,x2=4.经检验均是原方程的解.答:2或4秒钟后,△PBQ的面积等于8cm2.2.解:(1)由题意,得BQ=2t,PB=5-t.故答案为:2t,5-t.(2)在Rt△PBQ中,由勾股定理,得4t2+(5-t)2=25,解得:t1=0,t2=2.(3)由题意,得2t(5−t)2=4,解得:t1=1,t2=4(不符合题意,舍去),∴当t=1时,△PBQ的面积等于4cm2.3.解:(1)设经过x秒,△PBQ的面积等于8cm2则:BP=6-x,BQ=2x,所以S△PBQ=12×(6-x)×2x=8,即x2-6x+8=0,可得:x=2或4(舍去),即经过2秒,△PBQ的面积等于8cm2.(2)设经过y秒,线段PQ恰好平分△ABC的面积,△PBQ的面积等于12cm2,S△PBQ=12×(6-y)×2y=12,即y2-6y+12=0,因为△=b2-4ac=36-4×12=-12<0,所以△PBQ的面积不会等于12cm2,则线段PQ不能平分△ABC的面积.4.相似三角形的判定与性质;一元二次方程的应用.菁优网版权所有几何动点问题.(1)设x秒时.由三角形的面积公式列出关于x的方程,(6﹣x)•2x=8,通过解方程求得x1=2,x2=4;(2)过Q作QD⊥CB,垂足为D,构建相似三角形△CQD∽△CAB,由该相似三角形的对应边成比例得到,即QD=;然后由三角形的面积公式列出关于x的方程(14﹣x)•=12.6,解之得x1=7,x2=11.由实际情况出发,来对方程的解进行取舍.解:(1)设x秒时,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ面积为8cm2,由题意得(6﹣x)•2x=8,解之,得x1=2,x2=4,经过2秒时,点P到距离B点4cm处,点Q到距离B点4cm处;或经4秒,点P到距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处,△PBQ的面积为8cm2,综上所述,经过2秒或4秒,△PBQ的面积为8cm2;(2)当P在AB上时,经x秒,△PCQ的面积为:×PB×CQ=×(6﹣x)(8﹣2x)=12.6,解得:x1=(不合题意舍去),x2=,经x秒,点P移动到BC上,且有CP=(14﹣x)cm,点Q移动到CA上,且使CQ=(2x﹣8)cm,过Q作QD⊥CB,垂足为D,由△CQD∽△CAB得,即QD=,由题意得(14﹣x)•=12.6,解之得x1=7,x2=11.经7秒,点P在BC上距离C点7cm处,点Q在CA上距离C点6cm处,使△PCQ的面积等于12.6cm2.经11秒,点P在BC上距离C点3cm处,点Q在CA上距离C点14cm处,14>10,点Q已超出CA的范围,此解不存在.综上所述,经过7秒和秒时△PCQ的面积等于12.6cm2.5.解:设P,Q两点从出发经过t秒时,点P,Q间的距离是10cm,作PH⊥CD,垂足为H,则PH=AD=6,PQ=10,HQ=CD-AP-CQ=16-5t,∵PH2+HQ2=PQ2可得:(16-5t)2+62=102,解得t1=4.8,t2=1.6.答:P,Q两点从出发经过1.6或4.8秒时,点P,Q间的距离是10cm.6.答案略分析:7.(1)当t=3时,CQ=3,过P作PE⊥QR于E,易求得PE的长和△QPE的面积,设PQ交CD于G,由于CG∥PE,可证得△CQG∽△EQP,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到S的值.(2)当t=5时,Q、B重合,线段PR与CD相交,设PR与CD相交于G,可仿照(1)的方法求得△RCG的面积,从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积.(3)当5≤t≤8时,AB与PQ相交,RP与CD相交,仿照(1)的方法,可求得正方形外部的两个小三角形的面积,进而可参照(2)的方法求得阴影部分的面积表达式,由此可得到关于S、t的函数关系式,根据函数的性质即可得到S的最大值.解答:解:(1)作PE⊥QR,E为垂足.∵PQ=PR,∴QE=RE=QR=4,在Rt△PEQ中∴PE==3;(1分)当t=3时,QC=3,设PQ与DC交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP.(2分)∴,∵S△QEP=×4×3=6,∴S=×6=(cm2).(3分)(2)当t=5时,CR=3.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP,可求出CG=,所以,S△RCG=×3×=(cm2),(5分)S=12﹣=(cm2).(6分)(3)当5≤t≤8时,QB=t﹣5,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