放缩法巧解不等式恒成立中的参数范围

■1968－“”GS2015GHB1415:，，．，，，．:;;;“”．．、1(2016)f(x)=ax2－a－lnx，a∈Ｒ．(1)f(x);(2)a，f(x)＞1x－e1－x(1，+∞)(e=2．718…)．1．2fx＞1x－e1－x1+∞a＞1x－e1－x+lnxx2－11+∞．x→11x－e1－x+lnxx2－1→12x→+∞1x－e1－x+lnxx2－1→0．．1x－e1－x+lnxx2－1＜121+∞．12x2－12－lnx－1x+e1－x＞01+∞．gx=12x2－12－lnx－1x+e1－xx∈1+∞g'x=x－1x+1x2－e1－x=x－e1－x+1－xx2＞x－1+1－xx2=x－11－1x2＞0．gx1+∞gx＞g1=0．1x－e1－x+lnxx2－1＜121+∞．a≥12．．、2(2011)f(x)=alnxx+1+bx，y=f(x)(1，f(1))x+2y－3=0．(1)a，b;(2)x＞0x≠1，f(x)＞lnxx－1+kx，k．1a=b=1．2fx－lnxx－1－kx=11－x22lnx+k－1x2－1x＞0x＞0x≠1．·62·x∈01tx=2lnx+k－1x2－1x＞0．t1=0t'1=2k≤0k≤0．t'1＞0t'xmx∈m1t'x＞0x∈m1tx＜t1=0．．lnxx+1+1x≥32－x2．hx=lnx+12x2－x+1x－12≥0．h'x=1x+x－1－1x2=x－11+x2x2＞0x＞1hx1+∞01hx≥h1=0．k≤0fx＞lnxx－1+kxx＞0x≠132－x2＞lnxx－1+kxk＜32x－12x2－lnxx－1x＞0x≠1gx=32x－12x2－lnxx－1x＞0x≠1g'x=32－x－x－1lnx+1－xlnxx－12=x－12x2+3x－1+2lnx2x－12x＞1g'x＞0gx0＜x＜1g'x＜0gx．x→1gx→0gx＞0．k≤0．．、3f(x)=(1+x)e－2x，g(x)=ax+12x3+1+2xcosx，x∈［0，1］．(1):1－x≤f(x)≤11+x;(2)f(x)≥g(x)，a．(2013)1．2hx=fx－gx1+xe－2x－ax－12x3－1－2xcosx≥001．h0=0h'x=－1+2xe－2x－a－32x2－2cosx+2xsinxh'0=－1－a－2≥0a≤－3．．a≤－31fx≥1－xfx≥gx011－x≥ax+12x3+1+2xcosx－ax≥12x3+x+2xcosx01．x=0．x∈01－a≥12x2+1+2cosx．px=12x2+1+2cosxx∈01p'x=x－2sinxp″x=1－2cosx＜0p'x01p'x≤p'0=0．px01px＜p0=0．a≤－3．．、4f(x)=ax－12x2－aln(x+1)(a＞0)，g(x)=ex－x－1，y=f(x)y=g(x)，x≥0，g(x)≥f(x)+12x2，a．gx≥fx+12x2ex－x－1≥ax－lnx+1x≥0．hx=x－lnx+1x≥0h'x=x1+x≥0hx0+∞hx≥h0=0．x=0a＞0．x＞0a≤ex－x－1x－lnx+1．．hx=ex－x－1－x－lnx+1x＞0·72·h'x=ex－2+1x+1h″x=exx+12－1x+12＞0h'x0+∞h'x＞h'0=0hx0+∞hx＞h0=0．ex－x－1x－lnx+1＞1x→0ex－x－1x－lnx+1→1a≤1．．、5f(x)=ex－ax－a2(x∈Ｒ，a∈［0，+∞)，e=2．71828…，槡e=1．64872…)．(Ⅰ)f(x)0，a;(Ⅱ)m＞2．3，ex＞lnx+m，m．Ⅰa=槡e．Ⅱe=2．71828…槡e=1．64872…．Ⅰa=槡efx≥0x∈Ｒex≥槡ex+槡e2x＞0．槡ex+槡e2－lnx＞m．gx=槡ex+槡e2－lnxx＞0g'x=槡e－1x＞0x＞1槡egx1槡e+∞01槡e．gxmin=g1槡e=32+槡e2．槡e=1．64872…3+槡e2≈4．648722＞2．3．m2．33+槡e2．．、6f(x)=ex+m－x3，g(x)=ln(x+1)+2．(1)y=f(x)(0，f(0))1，m．(2)f(x)＞g(x)－x3，m．12hx=fx－gx－x3=ex+m－lnx+1－2＞0x∈－1+∞．h0=em－2＞0m＞ln2．．m=1ex+1－lnx+1－2＞0．px=ex+1－lnx+1－2p'x=ex+1－1x+1－1+∞p'0=e－1＞0p'－12=e12－2＜0p'x－1+∞x0x0∈－120．x∈－1x0p'x＜0pxx∈x0+∞p'x＞0px．p'x0=ex0+1－1x0+1=0．px≥px0=ex0+1－lnx0+1－2=1x0+1－ln1ex0+1－2=1x0+1+x0+1－2＞0．m1．．734200·82·