高中三角函数知识点与常见习题类型解法

1三角函数知识点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数：（1）弧长公式：RalR为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。（2）扇形的面积公式：lRS21R为圆弧的半径，l为弧长。（3）同角三角函数关系式：①倒数关系：1cottanaa②商数关系：aaacossintan，aaasincoscot③平方关系：1cossin22aa（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k2所谓奇偶指的是整数k的奇偶性；x函数xsinxcosxtanxcotaasinacosatanacota2asinacosatanacota2acosasinacotatan2、两角和与差的三角函数：（1）两角和与差公式：sinsincoscos)cos(aasincoscossin)sin(aaatantan1tantan)(tanaaaa【注：公式的逆用或者变形】．．．．．．．．．．（2）二倍角公式：aaacossin22sin1cos2sin21sincos2cos2222aaaaaaaa2tan1tan22tan从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：22cos1cos2aa，22cos1sin2aa（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：2cos12sinaa，2cos12cosaa，aaaaaaasincos1cos1sincos1cos12tan23、三角函数的图像和性质：（其中zk）三角函数xysinxycosxytan图像定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）2kx值域[-1,1][-1,1]（-∞，+∞）最小正周期2T2TT奇偶性奇偶奇单调性]22,22[kk单调递增]232,22[kk单调递减]2,)12[(kk单调递增])12(,2[(kk单调递减)2,2(kk单调递增对称性对称轴：2kx对称中心：)0,(k对称轴：kx对称中心：)0,2(k对称中心：)0,2(k零值点kx2kxkx最值点1,22maxykx1,22maxykx1,2maxykx1,)12(maxykx无4、函数)sin(xAy的图像与性质：（本节知识考察一般能化成形如)sin(xAy图像及性质）（1）函数)sin(xAy和)cos(xAy的周期都是2T（2）函数)tan(xAy和)cot(xAy的周期都是T（3）五点法作)sin(xAy的简图，设xt，取0、2、、23、2来求相应x的值以及对应的y值再描点作图。（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。3【函数的平移变换】：①)0)(()(aaxfyxfy将)(xfy图像沿x轴向左（右）平移a个单位（左加右减）②)0()()(bbxfyxfy将)(xfy图像沿y轴向上（下）平移b个单位（上加下减）【函数的伸缩变换】：①)0)(()(wwxfyxfy将)(xfy图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w1倍（1w缩短，10w伸长）②)0)(()(AxAfyxfy将)(xfy图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（1A伸长，10A缩短）【函数的对称变换】：①)()(xfyxfy)将)(xfy图像绕y轴翻折180°（整体翻折）；（对三角函数来说：图像关于x轴对称）②)()(xfyxfy将)(xfy图像绕x轴翻折180°（整体翻折）；（对三角函数来说：图像关于y轴对称）③)()(xfyxfy将)(xfy图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）；④)()(xfyxfy保留)(xfy在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换；如45tancottancossin122xxaa等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：aaaaaa222222cos1cos)cos(sincos2sin；配凑角：)(；22等。（3）降次与升次；切化弦法。（4）引入辅助角。)cos()sin(cossin2222bababay，这里辅助角所在象限由ba、的符号确定，角的值由abtan确定。【典型例题】：1、已知2tanx，求xxcos,sin的值．4解：因为2cossintanxxx，又1cossin22aa，联立得，1cossincos2sin22xxxx解这个方程组得.55cos552sin,55cos552sinxxxx2、求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(的值。解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o.3330cos)150sin(30tan)120sin)(30cos(60tan3、若,2cossincossinxxxx，求xxcossin的值．解：法一：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx得到xxcos3sin，又1cossin22aa，联立方程组，解得，，1010cos10103sin1010cos10103sinxxxx所以103cossinxx法二：因为,2cossincossinxxxx所以)cos(sin2cossinxxxx，所以22)cos(sin4)cos(sinxxxx，所以xxxxcossin84cossin21，所以有103cossinxx54、求证：xxxx2222sintansintan。证明：法一：右边＝222222222sintan)cos1(tan)cos(tantansintanxxxxxxxxx；法二：左边=22222222222sintan)cos1(tancostantan)cos1(tansintanxxxxxxxxxxx5、求函数)6π2sin(2xy在区间]2,0[上的值域。解：因为]20x，所以20x，67626x由正弦函数的图象，得到1,21)6π2sin(2xy，所以2,1)6π2sin(2xy6、求下列函数的值域．（1）2cossin2xxy；（2）)cos(sincossin2xxxxy)解：（1）2cossin2xxy=3)cos(cos2coscos122xxxx令xtcos，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222ttttyt利用二次函数的图象得到].413,1[y6(2))cos(sincossin2xxxxy=)cos(sin1)cos(sin2xxxx令xxtcossin2)4πsin(x，则]2,2[t则,12tty利用二次函数的图象得到].21,45[y7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。解：由最高点为)2,2(，得到2A，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是41个周期，这样求得44T，T=16，所以8π又由)28πsin(22，得到可以取).4π8πsin(2.4πxy8、已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若],2π,0[x求f(x)的最大值、最小值．数xxycos3sin1的值域．解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x)4π2sin(2)24πsin(22sin2cos2sin)sin(cos22xxxxxxx所以最小正周期为π．7(Ⅱ)若]2π,0[x，则]4π3,4π[)4π2(x，所以当x=0时，f(x)取最大值为;1)4πsin(2当8π3x时，f(x)取最小值为.29、已知2tan，求（1）sincossincos；（2）22cos2cos.sinsin的值.解：（1）2232121tan1tan1cossin1cossin1sincossincos；(2)222222cossincos2cossinsincos2cossinsin324122221cossin2cossincossin2222.说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。10、求函数21sincos(sincos)yxxxx的值域。解：设sincos2sin()[22]4πtxxx，，则原函数可化为22131()24yttt，因为[22]t，，所以当2t时，max32y，当12t时，min34y，所以，函数的值域为3[32]4y，。811、已知函数2()4sin2sin22fxxxxR，；（1）求()fx的最小正周期、()fx的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数()fx的图像关于直线8πx对称。解：22()4sin2sin222sin2(12sin)fxxxxx2sin22cos222sin(2)4πxxx(1)所以()fx的最小正周期Tπ，因为xR，所以，当2242ππxkπ，即38πxkπ时，()fx最大值为22；(2)证明：欲证明函数()fx的图像关于直线8πx对称，只要证明对任意xR，有()()88ππfxfx成立，因为()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，()22sin[2()]22sin(2)22cos28842ππππfxxxx，所以()()88ππfxfx成立，从而函数()fx的图像关于直线8πx对称。12、已知函数y=21cos2x+23sinx·cosx+1（x∈R）,（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？9解：（1）y=21cos2x+23sinx·cosx+1=41(2cos2x－1)+41+43（2sinx·cosx）+1=41cos2x+43sin2x+45=21(cos2x·sin6+sin2x·cos6)+45=21sin(2x+6)+45所以y取最大值时，只需2x+6=2+2kπ,（k∈Z），即x=6+kπ,（k∈Z）。所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=6+kπ,k∈Z}（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：（i）把函数y=sin