高中数学必修4三角函数常考题型：弧-度-制

弧度制【知识梳理】1．角度制与弧度制(1)角度制．①定义：用度作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的1360作为一个单位．(2)弧度制．①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．2．任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3．角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.4．弧度与角度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝π180rad≈0.01745rad1rad＝180π°≈57.30°5.一些特殊角的度数与弧度数的对应表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π6π4π3π22π33π45π6π6．扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α为其圆心角，则α为度数α为弧度数扇形的弧长l＝παR180l＝αR扇形的面积S＝παR2360S＝12lR＝12αR2【常考题型】题型一、角度与弧度的换算【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－2π9.[解](1)72°＝72×π180＝2π5；(2)－300°＝－300×π180＝－5π3；(3)2＝2×180π°＝360π°；(4)－2π9＝－2π9×180π°＝－40°.【类题通法】角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×π180＝弧度数，弧度数×180π＝度数．【对点训练】已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们是第几象限角；(2)将β1，β2用角度表示出来，并在－720°～0°范围内，找出与它们有相同终边的所有角．解：(1)α1＝－570°＝－570π180＝－19π6，α2＝750°＝750π180＝25π6.∵α1＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝25π6＝2×2π＋π6，∴α1是第二象限角，α2是第一象限角．(2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝k·360°＋108°(k∈Z)，则由－720°≤θ0°，得－720°≤k·360°＋108°0°(k∈Z)，解得k＝－2或k＝－1，∴在－720°～0°范围内，与β1有相同终边的角是－612°和－252°；β2＝－π3＝－13×180°＝－60°，设γ＝k·360°－60°(k∈Z)，则由－720°≤k·360°－60°0°(k∈Z)，得k＝－1或k＝0，∴在－720°～0°范围内，与β2有相同终边的角是－60°和－420°.题型二、扇形的弧长公式及面积公式的应用【例2】(1)已知扇形的周长为8cm，圆心角为2，则扇形的面积为________．(2)已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的圆心角是多少弧度？面积是多少？(1)[解析]设扇形的半径为rcm，弧长为lcm，由圆心角为2rad，依据弧长公式可得l＝2r，从而扇形的周长为l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，则l＝4.故扇形的面积S＝12rl＝12×2×4＝4cm2.[答案]4cm2(2)[解]设扇形的弧长为l，由题意得2πR＝2R＋l，所以l＝2(π－1)R，所以扇形的圆心角是lR＝2(π－1)，扇形的面积是12Rl＝(π－1)R2.【类题通法】弧度制下涉及扇形问题的攻略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度．【对点训练】已知扇形的周长是30cm，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为α(0α2π)，半径为r，面积为S，弧长为l，则l＋2r＝30，故l＝30－2r，从而S＝12lr＝12(30－2r)r＝－r2＋15r＝－r－1522＋225415π＋1r15，所以，当r＝152cm时，α＝2，扇形面积最大，最大面积为2254cm2.题型三、用弧度制表示角的集合【例3】用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．[解](1)如图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为θ2kπ－π6θ2kπ＋5π12，k∈Z.(2)如图②，∵30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB上的角为α＝kπ＋π6，k∈Z，又终边在y轴上的角为β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为θkπ＋π6θkπ＋π2，k∈Z.【类题通法】用弧度制表示角应关注的三点(1)用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧度制下的应用，必要时，需进行角度与弧度的换算．注意单位要统一．(2)在表示角的集合时，可以先写出一周范围(如－π～π，0～2π)内的角，再加上2kπ，k∈Z.(3)终边在同一直线上的角的集合可以合并为{x|x＝α＋kπ，k∈Z}；终边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为xx＝α＋k·π2，k∈Z.在进行区间的合并时，一定要做到准确无误．【对点训练】以弧度为单位，写出终边落在直线y＝－x上的角的集合．解：在0到2π范围内，终边落在直线y＝－x上的角有两个，即34π和74π，所有与34π终边相同的角构成的集合为S1＝αα＝34π＋2kπ，k∈Z，所有与74π终边相同的角构成的集合为S2＝αα＝74π＋2kπ，k∈Z＝αα＝34π＋2k＋1π，k∈Z，∴终边落在直线y＝－x上的角的集合为S＝S1∪S2＝αα＝34π＋nπ，n∈Z.【练习反馈】1．下列命题中，错误的是()A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的1360，1rad的角是周角的12πC．1rad的角比1°的角要大D．用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析：选D根据角度制和弧度制的定义可以知道，A、B是正确的；1rad的角是180π°≈57.30°，故C也是正确的；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小都与圆的半径无关，故D错误．2．角α的终边落在区间－3π，－5π2内，则角α所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C－3π的终边在x轴的非正半轴上，－52π的终边在y轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．3．－135°化为弧度为________，11π3化为角度为________．解析：－135°＝－135×π180＝－34π；113π＝113×180°＝660°.答案：－34π660°4．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α2π，k∈Z)的形式为________．解析：法一：－690°＝－690×π180＝－236π.∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π65．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解：设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4.根据扇形面积公式S＝12lR，得1＝12l·R.联立2R＋l＝4，12l·R＝1.解得R＝1，l＝2，∴α＝lR＝21＝2.