一元二次不等式及其解法教案

1一元二次不等式及其解法第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。【教学重点】从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具,本节课的主要内容就是一元二次不等式的解法【教学难点】一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间的关系。理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的内在联系。由于学生年龄及认知规律等因素，要真正掌握有一定的难度。【学情分析】我班中等程度偏下的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。学生已经学习了一元一次不等式（组）的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。【教学内容分析】一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性和工具性的作用。【教学过程】一．设置情景，导入新课从实际情境中抽象出一元二次不等式模型：教材P84互联网的收费问题教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：250xx…………………………(1)二．引导探究，获得新知1）一元二次不等式的定义【让学生分析探究不等式①的特点，并让学生回答。】生：这个不等式的特点：含有一个未知数x；未知数x的最高次数是2；是整式不等式。【教师肯定后，点明像这样的不等式，叫一元二次不等式，然后鼓励学生下定义。】生：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式。【学情预设】不等式①的特点学生容易找出，如果一个学生分析不全，可让其他学生补充。【设计意图】引导学生抽象出一元二次不等式模型，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。象250xx这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式22）探究一元二次不等式250xx的解集师：如何求解一元二次不等式呢？请以不等式①250xx为例，探究一元二次不等式的解法。【学生按小组讨论、交流。教师巡视。】【学情预设】学生可能会因式分解，将不等式化50xx时，问到转化为不等式组050xx或050xx求解。学生提出的问题，想法非常好，应给予肯定和鼓励，这是解不等式的另一种解法——等价转化法，不是本节课研究的重点。师：能不能利用数形结合思想求解一元二次不等式？请看屏幕上的引例2。（1）复习回顾【引例2】①如何作一元一次函数y=2x-7图象？②根据所作的图象回答下列问题：x取_3.5_时，y=0即2x-7=0；x取大于3.5_时，y0即2x-70；x取小于3.5时，y0即2x-70。③根据图象回答：不等式2x-70的解集为：|3.5xx；不等式2x-70的解集为：|3.5xx；不等式2x-7≥0的解集为：|3.5xx；不等式2x-7≤0的解集为：|3.5xx。【学生动手操作画图。教师适当帮助同学回顾一次函数图象的画法。引导学生观察图象得出结论。】生：①令x=0则y=-7，得到点（0,-7）；令y=0则x=3.5，得到点（3.5,0）。经过两点作直线即得函数y=2x-7的图象，如图所示：【学情预设】根据维果斯基的“最近发展区理论”，教学应着眼于学生的最近发展区。发展的过程就是不断把最近发展区转化为现有发展区的过程，即把未知转化为已知、把不会转化为会、把不能转化为能的过程。所以这个环节能够顺利完成。【设计意图】以学生熟悉的画一次函数图象入手，使学生自觉地把一次函数图象与一次方程以及一次函数紧密联系起来，从而感受函数与方程、函数与不等式之间的关系。并为后面的二次不等式的学习作好铺垫。同时也可使学生在自己熟悉的问题中体验学习的乐趣。（2）从特殊到特殊，类比探究师：请类比上面的求解一元一次不等式方法，利用数形结合思想探究一元二次不等式250xx的解法【引导学生类比、联想，探究一元二次不等式的解法。学生按小组讨论、交流、合作。教师巡视。鼓励学生上讲台，利用多媒体演示自己的成果。小组代表发言，展示小组成果】小组代表：我们小组经研究认为，该问题共三个步骤：第一步，画出函数y=25xx的图象，如图所示：第二步，根据图象完成以下三个问题：①图象与x轴的交点坐标为(0,0)(5,0)该坐标与方程250xx的解的关系：交点的横73.5yxo15105-5-1010-1050xyy=x25∙x3坐标即为方程的根②当x取x=0,5时，y=0;当x取x0或x5时，y0;当x取0x5时，y0.③由图象写出解集不等式250xx的解集为：﹛x|0x5﹜.【设计意图】从考察二次函数y=25xx与一元二次方程250xx的关系出发，借助二次函数y=25xx图象的直观性，获得对一元二次不等式解集的感性认识，通过类比上面的求解一元一次不等式的方法，让学生按小组讨论、交流、合作避免学生走弯路，揭示一元二次方程、二次函数、一元二次不等式三者之间的关系，突破本节课的难点。（3）从特殊到一般，深入探究师：由一元二次不等式的一般形式可知，任何一个一元二次不等式，最后都可以化为2200(0)axbxcaxbxca或的形式，而且我们已经知道，一元二次不等式的解与其相应的一元二次方程的根及二次函数图象有关，即由抛物线与x轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集.如何讨论一元二次不等式的解集呢？请结合上面的一元二次不等式250xx求解过程，总结一下。【由教师演示几何画板制作的课件（如图），上下拖动P点，观察的值以及抛物线与x轴相关位置，引导学生得出一元二次不等式200axbxca的解集应分为0,0,0三种情况讨论，并让学生完成以下表格】小组代表：一元二次不等式200axbxca的解集：设相应的一元二次方程200axbxca的两根为2121xxxx且、，acb42，则不等式的解的各种情况如下表：000二次函数cbxaxy2的图象cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2几何画板图形P2yaxbxc0xy4一元二次方程20axbxc的根有两相异实根)(,2121xxxx有两相等实根abxx221无实根20axbxc的解集21xxxxx或abxx2R20axbxc的解集21xxxx【学情预设】这个环节有一定的难度。当学生思维受阻时，教师要启发引导学生注意参照250xx的求解过程进行探究，组织引导学生展开交流讨论，寻求解二次不等式的一般规律。【设计意图】完成由特殊到一般的抽象思维过程，最终形成结论。教师用多媒体演示直观地演示方程与函数、方程与不等式之间的关系，组织学生自主探究和合作学习。关注学生自主探究、关注学生的个性发展，鼓励学生勇于探究，培养学生思维的批评性。三、例题讲解例1求不等式01442xx的解集.解：因为210144,0212xxxx的解是方程.所以，原不等式的解集是21xx例2解不等式0322xx.解：整理，得0322xx.因为032,02xx方程无实数解，所以不等式0322xx的解集是.从而，原不等式的解集是.【教师巡视,学生自己动手求解;后学生演示解题过程,学生之间点评;最后教师点评,并板书例2解题过程,重点强调解题步骤的规范性.】【学情预设】学生自主求解以上不等式应该很顺利,但解题步骤写得可能不够规范,可能有的学生最后的结果没有写成集合或区间的形式.例3列不等式组也不再是难点,但利用数轴写解集时可能出错.【设计意图】巩固解一元二次不等式的方法,强调解题的规范性.【题后小结】解一元二次不等式的步骤是：（1）把不等式化成a0的形式。(2)判定△与0的关系。（3）求出相应方程的根。（4）根据函数图象写出不等式的解集。“一化二判三求四解”四、练习与巩固5必作题（1）课本第80的练习1（1）、（3）、（5）、（6）（2）教材P80练习A第1.（1）、（2）.选作题（1）教材P80,习题3-3A第4题（2）一个汽车制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（辆）与创造的价值y（元）之间有如下的关系：22220yxx若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？【学情预设】必作题学生应该都能做出;选作题(2)有一定的难度,但基础好的学生能够作出.【设计意图】①解引例1中的第（2）题列出的不等式，目的在于回应课堂开题内容，使整个课堂教学形成有机的整体，同时也提高学生的学习兴趣。②出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念五、课堂小结师：这节课我们学习了一元二次不等式解法，请同学们总结一下我们利用了什么数学思想方法进行了研究，并求解一元二次不等式的步骤。【学生作发言总结，总结数形结合思想及解一元二次不等式的步骤，教师点评后，展示下面的程序框图】师：下面我们用一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示出来，请同学们将判断框和处理框中的空格填充完整.学生活动：【学情预设】学生可能只把解一元二次不等式的步骤总结不够全面，教师要引导学生进行详细的总结。开始将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0)=b2-4ac?否是方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式的解集为R求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2x1=x2?原不等式的解集为x|___(x1x2)原不等式的解集为x|___结束是否开始将原不等式化成一般形式ax2+bx+c0(a0)=b2-4ac?否是方程ax2+bx+c=0没有实数根原不等式的解集为R求方程ax2+bx+c=0的两个根x1、x2x1=x2?原不等式的解集为x|___(x1x2)原不等式的解集为x|___结束是否6【设计意图】①通过学生总结和完成框图，让学生再一次巩固解一元二次不等式的步骤（可以从也应该从多个角度进行），让学生体会求解方法,以便能将知识进行迁移。②总结本节课中所用到的数学思想方法，主要为数形结合思想。六、教学评价（1）教材P80,习题3-3A第2题.（2）教材P81“习题3-3B第1题.【设计意图】1、巩固所学的内容。2、对所学内容的检测、反馈与及时补救。教学反思1.本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对