3.1.1(一)实数指数幂及其运算教案

1/3第三章基本初等函数(Ⅰ)§3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算(一)【学习要求】1.了解根式与方根的概念及关系;2.理解分数指数幂的概念;3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算.【学法指导】通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1.相同因数相乘记作an,an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;(2)(am)n＝am·n;(3)aman＝am－n(mn,a≠0);(4)(ab)m＝ambm.3.如果存在实数x,使得xn＝a(a∈R,n1,n∈N＋),则x叫做a的n次方根求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根当na有意义的时候,na叫做根式,n叫做根指数.当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,此时a的n次实数方根只有一个,记为na;当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,它们可以合并写成±na(a0)形式.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.探究点一整数指数及其运算问题1整数指数幂an(n∈N＋)的意义是什么？an、a、n分别叫做什么？答:an(n∈N＋)的意义为:an＝,an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数.问题2正整指数幂有哪些运算法则？答:(1)am·an＝am＋n;(2)(am)n＝am·n;(3)aman＝am－n(mn,a≠0);(4)(a·b)m＝am·bm.问题3零和负整指数幂是如何规定的？答:规定:a0＝1(a≠0);00无意义;a－n＝1an(a≠0,n∈N＋).例1计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的a,b≠0).(1)a－3b－2－3a2b－19a－2b－3;(2)＋－3－4－－2＋03(a＋b≠0,a－b≠0).解(1)a－3b－2－3a2b－19a－2b－3＝－3a－3＋2b－2－19a2b3＝－13a－1＋2b－3＋3＝－13a;(2)＋－3－4－－2＋03＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.小结:当我们规定了a0＝1(a≠0);00无意义;a－n＝1an(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.跟踪训练1化简下列各式:(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);(2)10－3＝______;－12－6＝______.答案：(1)111(2)0.00164探究点二根式的概念与性质问题1什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？2/3答:若x2＝a,则x叫做a的平方根.同理,若x3＝a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,当a0时,有两个平方根,它们互为相反数±a;当a＝0时,0＝0;当a0时,在实数范围内没有平方根.在实数范围内a只有一个立方根,记作3a.问题2类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根？答:如果存在实数x,使得xn＝a(a∈R,n1,n∈N＋),则x叫做a的n次方根.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.当na有意义的时候,na叫做根式,n叫做根指数.问题3类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？答:a为正数:n为奇数，a的n次方根有一个，为nan为偶数，a的n次方根有两个，为±na，a为负数:n为奇数，a的n次方根只有一个，为nan为偶数，a的n次方根不存在.零的n次方根为零,记为n0＝0.小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和n为偶数这两种情况.问题4根据n次方根的意义,可得:(na)n＝a,即(na)n＝a肯定成立,nan表示an的n次方根,等式nan＝a一定成立吗？如果不一定成立,那么nan等于什么？答:n为奇数,nan＝a;n为偶数,nan＝|a|＝a－.例2求下列各式的值:(1)3－3;(2)－2;(3)4－4;(4)－2(ab).解:(1)3－3＝－8;(2)－2＝|－10|＝10;(3)4－4＝|3－π|＝π－3;(4)－2＝|a－b|＝a－b(ab).小结:当n为偶数时,nan化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.跟踪训练2求下列各式的值:(1)7－7;(2)3－3(a≤1).解:(1)－2;(2)3a－3.探究点三利用根式的性质化简或求值例3化简:－2＋－2＋3－3＝________.解析:由题意知a－1≥0,即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对man仅当a≥0时,恒有man＝(ma)n,若a0,则不一定成立.跟踪训练3化简3a3＋4－4的结果是()A.1B.2a－1C.1或2a－1D.0解析:3a3＋4－4＝a＋|1－a|＝1，a≤12a－1，a1.故选C.探究点四有限制条件的根式的化简例4设－3x3,求x2－2x＋1－x2＋6x＋9的值.解:原式＝－2－＋2＝|x－1|－|x＋3|∵－3x3,∴当－3x1时,原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2;当1≤x3时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4,∴原式＝－2x－2－－.小结:此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解.跟踪训练4本例中,若将“－3x3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？解:原式＝－2－＋2＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3,∴x－10,x＋3≤0,∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.3/3练一练：当堂检测、目标达成落实处1.下列说法中:①16的4次方根是2;②416的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时,na对任意a∈R都有意义;④当n为大于1的偶数时,na只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()A.①③④B.②③④C.②③D.③④解析:①错,∵(±2)4＝16,∴16的4次方根是±2;②错,416＝2,而±416＝±2.③④正确.答案D2.已知x5＝6,则x等于()A.6B.56C.－56D.±56解析:由根式的定义知,x5＝6,则x＝56,故选B.3.m是实数,则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2B.3mC.6mD.5－m解析:要使6m有意义,m≥0.课堂小结：1.根式的概念:如果xn＝a,那么x叫做a的n次方根,其中n1,且n∈N＋.n为奇数时,x＝na,n为偶数时,x＝±na(a0);负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0.2.掌握两个公式:(1)(na)n＝a;(2)n为奇数,nan＝a,n为偶数,nan＝|a|＝a－.