函数放缩研究

函数高考放缩研究2015.7.82009山东理科21．（本小题满分12分）已知函数1()ln(1)(1)nfxaxx，其中*xN，a为常数．（Ⅱ）当1a时，证明：对任意的正整数n，当2n≥时，有()1fxx≤．解：21．（Ⅱ）证法一：因为1a，所以1()ln(1)(1)nfxxx．当n为偶数时，令1()1ln(1)(1)ngxxxx，则1112()10(1)11(1)nnnxngxxxxx（2x≥）．所以当2x，时，()gx单调递增，又(2)0g，因此1()1ln(1)(2)0(1)ngxxxgx≥恒成立，所以()1fxx≤成立．当n为奇数时，要证()1fxx≤，由于10(1)nx，所以只需证ln(1)1xx≤，令()1ln(1)hxxx，则12()1011xhxxx≥（2x≥），所以当2x，时，()1ln(1)hxxx单调递增，又(2)10h，所以当2x≥时，恒有()0hx，即ln(1)1xx命题成立．综上所述，结论成立．证法二：当1a时，1()ln(1)(1)nfxxx．当2x≥时，对任意的正整数n，恒有11(1)nx≤，故只需证明1ln(1)1xx≤．令()1(1ln(1))2ln(1)hxxxxx，2x，，则12()111xhxxx，当2x≥时，()0hx≥，故()hx在2，上单调递增，因此当2x≥时，()(2)0hxh≥，即1ln(1)1xx≤成立．故当2x≥时，有1ln(1)1(1)nxxx≤．即()1fxx≤．法一中的放缩：当n为奇数时，要证()1fxx≤，由于10(1)nx，所以只需证ln(1)1xx≤，法二中的放缩：当2x≥时，对任意的正整数n，恒有11(1)nx≤，(2012山东文理科22)(本小题满分13分)已知函数ln()(exxkfxk为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线与x轴平行.(文Ⅲ)设()()gxxfx，其中()fx为()fx的导函数.证明：对任意20,()1exgx.(理Ⅲ)设g(x)=(x2+x)'()fx，其中()fx为()fx的导函数.证明：对任意20,()1exgx.参考答案：(文III)由(II)可知，当1x时，()()gxxfx≤0＜1+2e，故只需证明2()1egx在01x时成立.当01x时，ex＞1，且()0gx，∴1ln()1lnexxxxgxxxx.------此处进行放缩，11,10xex设()1lnFxxxx，(0,1)x，则()(ln2)Fxx，当2(0,e)x时，()0Fx，当2(e,1)x时，()0Fx，所以当2ex时，()Fx取得最大值22()1eFe.所以2()()1egxFx.综上，对任意0x，2()1egx.这种方式可以称作：“先方缩后拔刺”研究：第三问综合的考察了分类整合、转化化归、函数与方程等思想，其中通过放缩将导数难处理的函数变成导数好处理的函数是难点。其放缩方式还有一种也不错：xexxxxgln1)(中的xxxln1是最大的“麻烦制造者”，因此对这个“麻烦制造者”进行放缩，解决了他估计就好办了。如：当10x时，令)(xh)2(ln)(,ln1xxhxxx，不难求得21)(exh，这样我们就可以放缩：xxeeexxxxg)1(ln1)(2，下面只需证明：11xe这种方式可以称作：“先拔刺后方缩”(理III)由(II)可知，当1x时，g(x)=(x2+x)'()fx≤0＜1+2e，故只需证明2()1egx在01x时成立.当01x时，ex＞1，且()0gx，∴xxxexxxxxgxln1)ln1)(1()(.------此处进行放缩，11,10xexx设()1lnFxxxx，(0,1)x，则()(ln2)Fxx，当2(0,e)x时，()0Fx，当2(e,1)x时，()0Fx，所以当2ex时，()Fx取得最大值22()1eFe.所以2()()1egxFx.综上，对任意0x，2()1egx.这种方式可以称作：“先方缩后拔刺”研究：第三问综合的考察了分类整合、转化化归、函数与方程等思想，其中通过放缩将导数难处理的函数变成导数好处理的函数是难点。其放缩方式还有一种也不错：xexxxxxg)ln1)(1()(中的xxxln1是最大的“麻烦制造者”，因此对这个“麻烦制造者”进行放缩，解决了他估计就好办了。如：当10x时，令)(xh)2(ln)(,ln1xxhxxx，不难求得21)(exh，这样我们就可以放缩：xxeexexxxxxg)1)(1()ln1)(1()(2，下面只需证明：11xex这种方式可以称作：“先拔刺后方缩”（2013山东高考理科21）（本小题满分13分）注意：0)12)(1(212211)(102222222xxxxxxexxxexxxexxeexxxgx时，注：此题利用1102xex时，进行放缩。下面是一道我自己在2010年高考前研究的题目：创编于2010.5.16灵感来自2007山东理22题及2008山东文21题及2008山东理21题（放缩）及对2006、20078、2008山东高考的体会。（指数+对数+幂函数------可能通过这种形式及不等式放缩在2010年压轴，同时将基本不等式、定积分、反证法等交汇其中）由。是否恒成立？并说明理））探究：（的最小值之和。、：求已知xxxfxhxgNnxxxhxexgxxxexfxnx)1(2)(2)()()1(.1ln)(,1)(,ln)11(1)(10)1()(0)()1(0)()1,0(0)0(,)11()1(2)(0)1(2ln)11(1)(0)1(2ln)(,0)11(10)1()(0)1(0)(,212)(),(3ln2)1(2ln1)1(2)(.1,1)11(1,111,21,020082008(1,21,)1(21)0(,1111)(,11ln,.1,1)11(1,111,21,0213.311ln1)(212008)(12)()1(///122212/11//21221/1111FxFxFxxFxFxxxxnxxexxFxxxxxexFnxxxexFxxnnFxFFxFxxexxxexFxFxxexxxexxxfxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxexxxxxxxxxxxxhxexexgnxnxxnxxxxnxnxx；时，；时；！观察运算能力要求较高即证：偶数时：运算量较大！，同法二易证！即证：奇数时：的奇偶性法三：讨论列表知：，），在（时取等号当且仅当法二：山东理高考题）山东文、借鉴时取！（也可通分）等号恰都在即证：下面证明：故利用不等式放缩得：又时取等号当且仅当）法一：（时取。结果恰好都是问准备。实际目的是为第恒成立！表面结果为；即最小值题）山东文！（借鉴恒成立；即的最小值答案分析：（2014青岛一摸21题）已知函数()lnfxaxx，函数()gx的导函数()xgxe，且(0)(1)gge，其中e为自然对数的底数．（Ⅲ）当0a时，对于(0,)x，求证：()()2fxgx．（法一：放缩）即证明：02lnxex，以下有三种放缩方式：方式一：1ln,1xxxex。。。其中放缩的结论应证明！方式二：01ln,1xxxex即证明。。。其中放缩的结论应证明！方式三：011lnxexxx即证明。。。其中放缩的结论应证明！。。。。。。（法二：函数法）当0a时，()lnfxx，令()()()2xgxfx，则()ln2xxex，1()xxex，且()x在(0,)上为增函数设()0x的根为xt，则1tet，即tte当(0,)xt时，()0x，()x在(0,)t上为减函数；当(,)xt时，()0x，()x在(,)t上为增函数，min()()ln2ln22ttttxteteeet(1)10e，1()202e，1(,1)2t由于()2ttet在1(,1)2t上为增函数，12min11()()222.252022txtete()()2fxgx…………………………………………………………………………14分这就是所谓：“虚拟设根”转化构造新函数！一些常见的函数放缩结论：2ln,1)1ln(1ln,1ln,1ln,1ln1,11ln,,11xexennxxxnxxxxxxxxxexexxnnxx）（）（注意：结论要证明后才能用，越熟练越好，在“去超越化”时很有效！注意：山东高考理科对放缩考查较多，文科虽在《考试说明》中没有明确要求，却也考过至少2次！