初中数学思想方法

初中数学思想方法在数学的海洋中，一道道数学题只是大海中的一朵朵浪花，谁能踏遍每一朵浪花呢？数学思想方法的三个层次:数学思想和方法数学一般方法逻辑学中的方法(或思维方法)数学思想方法配方法、换元法、待定系数法、判别式法、割补法等分析法、综合法、归纳法、反证法等函数和方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等函数与方程思想例如图，中，BC＝4，，P为BC上一点，过点P作PD//AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，⊿APD面积最大？ABCACACB2360，ADBPHC设BP＝x，⊿APD的面积为y23)2(832xy如图,已知AB是半圆⊙O的直径,圆O'与圆O内切，圆O'切AB于C,CO'的延长线交⊙O于E,又AB=6，CE=,求⊙O'半径6DABECOO'3-rrr3以正方形ABCD的BC边为直径作半圆O,过点D作直线切半圆于点F,交AB边于点E.则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为（）(A)3:4(B)4:5(C)5:6(D)6:7数形结合思想数形结合百般好数缺形时少直观形少数时难入微隔裂分家万事休2.方程的正根的个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个x2=x2x2－1.对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，若a＞0，b＜0，c＜0，则下面关于这个函数与x轴的交点情况正确的是（）A.只有一个交点B.有两个，都在x轴的正半轴C.有两个，都在x轴的负半轴D.一个在x轴的正半轴，一个在x轴的负半轴8642-2-4-6-8-10-5510Oyx-2-3y12y241-2-1若y1＝2x＋2，y2＝2x2＋4x－2，y3＝2x3Oyx-3y12y3-1323－21(08湖北恩施州)如图,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.EDCBA224(12)9xx如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠A=900，BC和DE交于点P，若AC=3，AB=4，则P点到AB边的距离是____________．DEPABC一般解法：经过添加辅助线，利用相似三角形的判定和性质，解方程等步骤得到结果．解：如图，建立平面直角坐标系，x=443yx334yx127yxPABCED启示：运用坐标系和函数方法解题，思路简捷，思维量少，方法易于掌握，特别是对那些数量关系比较确定的问题，运用坐标系解决问题的效率较理想，常常能出奇制胜的作用．以数解形以形助数化归思想未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化；高维向低维转化；多元向一元转化；高次向低次转化；函数与方程的转化；无限向有限的转化等；1、解方程（组）降次、换元、公式变形．2、方程和函数及不等式转化．3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化．4、代数、几何之间的转化思想．不等式的学习=+1≥+1如图所示，AB是半圆的直径，AB=4，C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积?如图，已知四边形AOBE和四边形CBFD均为正方形，反比例函数的图象经过D、E两点，则△DOE的面积等于___4yx•A•B•B•A•A’•B’•A’•B’LL延伸一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如左图所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？（2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图右所示，那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？ABCDMN延伸二：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值是多少？ABMNOP延伸三：如图，A是半圆上一个三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，求AP+BP的最小值。延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=600，E为AB的中点，F是AC上一动点，则EF+BF的最小值是多少？ABCDE••Fxyo•MPQ••延伸五：在直角坐标系XOY中x轴上的动点M（x,0）到定点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，那么当MP+MQ取最小值时，点M的横坐标x=?•A•B牧童放牛将军饮马如图，一位小牧童，从A地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？分类讨论思想一.与概念有关的分类1.一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是-3≤x≤6，，相应的函数值的取值范围是-5≤y≤-2，则这个函数的解析式。-5=-3k+b-2=6k+b-5=6k+b-2=-3k+b2.函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。1、对∠A进行讨论2、对∠B进行讨论3、对∠C进行讨论CABACB20°20°20°20°CAB50°50°CAB80°80°20°CAB65°65°50°CAB35°35°110°ACB50°110°20°二.图形位置、形状的分类在三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形！在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，△TOP是等腰三角形？xy0.P情况一:OP=OT情况二:PO=PT情况三:TO=TP)0,5();0,5(21TTT3(-4,0))0,45(4T在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.xy0.P为对角线以情况一OP：)0,2(1T)2,2(2TA)0,2(3T为对角线以情况二PA：为对角线以情况三OA：（1）点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，△TOP是等腰三角形？(2)过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?(2)过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形,请写出点T的坐标?在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.xy0.P时当情况一090PTO：时当情况二090TPO：不存在符合条件的图T点时，90为POT得由0)0,2(1T)0,25(2TA)5,0(3T(3)过P作y轴的垂线PA,垂足为A.点T为坐标轴上的一点。以P.O.T为顶点的三角形与△AOP相似,请写出点T的坐标?半径为R的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的圆有几个？如图，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）.一次函数y＝x＋t的图象l随t的不同取值变化时，正方形中位于l的右下方部分的图形面积为S．写出S与t的函数关系式．lDCBAyxO三、在运动中进行分类0t2t4tlDCBAyxOlDCBAyxO.212tS20t42t2)4(214tS解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.四、含参型分类.分式方程、一次二次方程函数数学方法技巧型数学方法主要有：消元法、配方法、换元法、待定系数法、等积法、参数法、坐标法、构造法、折叠实践法、几何问题代数化等。逻辑数学方法有：分析法、综合法、归纳法、反证法等。例计算111111111111(1......)(......)(1......)(......)232005232006232006232005111111............232005232006ab解：1-，，1120062006则原式=ab-(a-)(b-)211()20062006ab=ab-ab+2111(1)20062006200612006换元法A3+53-5，解：设（1）例.求3+53-5的值0A因为3+53-5，所以，将（1）式两边平方，2323A得3+55（3+5）5，222AA即，02A由于，所以3+53-5换元法消元法22bc2求a的最小值例.（a-1）:（b+1）:（c+2）=1:2:3222222(1)(21)(32)abckkk222212441912414146kkkkkkkk21514()22k2221522kabc所以，当时，有最小值配方法反证法1589年，25岁的意大利物理学家伽利略登上比萨斜塔，同时丢下两个重量不同的铁球，用实验推翻了古希腊哲学家亚里斯多德的“不同重量的物体从高处下落的速度与其重量成正比”的错误论断。伽利略还进行了如下的推理论证：假设亚里斯多德的论断是正确的，设物体A比物体B重得多，则A比B先落地，现在把A和B捆在一起，成为物体A+B。一方面，由于A+B比A重，则A+B比A应先落地；另一方面，由于B比A轻，按亚里斯多德的理论，B下落的速度比A慢，把A、B捆在一起时，B便“拉了A的后腿”，使A下落的速度减慢，所以，A+B应该比A后落地。自相矛盾的结论：一方面，A+B比A应先落地，另一方面，A+B应比A后落地。根源是亚里斯多德的论断。已知抛物线，，中至少有一条与轴相交，求实数a的取值范围。2434yxaxa22)1(axaxyaaxxy22208)2(04)1(0)43(4)4(2322221aaaaaa312a得32a反面情况1a或正难则反设a、b、c为实数，则x、y、z中至少有一个()A．大于零B．等于零C．不大于零D．小于零322bax622cby222acz如图所示，在中,点P由点C出发以2cm/s的速度沿线段CA向点A运动（不运动到A点），圆O的圆心在BP上，且圆O与边AC、AB相切，当点P运动2s时，求圆O的半径r。CACcmBCcm9086°，，ABCRt面积法数学思想方法的实施途径1在知识的发生、形成过程中发掘并强化渗透数学思想方法2在知识的运用过程中，注重数学思想方法的分析和指导3在知识的归纳和总结中提炼概括数学思想方法定义在同一平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形。……研究什么如何研究四边形转化为三角形类比知新在同一平面内，由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次相接所组成的图形。内角、外角多边形转化为三角形四边形3n……多边形的内角和1×180°3×180°4×180°2n(2)180n…2×180°合作学习你能用适当的方法探究多边形的内角和吗？边数图形3456n从某顶点出发的对角线条数3…120划分成的三角形个数234…1今天我们研究了什么?我们得到了哪些成果?如何得到这些成果?在研究过程中有何体会?研多边形内外角，展其本质学数学知识方法，取其精髓不变应万变学习梳理1234(a+b)(m+n)=am1234abmnamanbnbm多项式的乘法+an+bm+bnaabbcc(a+b+c)2你能读懂下图吗?图形的语言a2ababb2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2abacabb2bcacbcc2(a+b)2=a2+2ab+b2直线与圆的位置关系BAlOAlOlOdlOdAlOBdAlO当dr，那么直线l与⊙O相离当d=r，那么直线l与⊙O相切当dr，那么直线l与⊙O相交d表示圆心O到直线l的距离，r表示⊙O的半径rrr用圆心到直线的距离和圆半径的数量关系，来揭示圆和直线的位置关系。点与圆、圆与圆的位置关系数形结合思想分类思想在代数的教学中，二元一次方程组、整式乘法、因式分解三个部分中经常用到一种方法就是换元法，体现的就是整体思想。『整体代入』