关于绝对值的几种题型及解题技巧

关于绝对值的几种题型及解题技巧所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即0a。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。所以，0a，而a则有两种可能：oa和0a。如：5a，则5a和5a。合并写成：5a。于是我们得到这样一个性质：a很多同学无法理解，为什么0a时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？a。因为此时0a，也就是说a是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如2)2(。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式子的前面添加一个负号。例如：0ba，则)(baba。绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。绝对值的性质：（1）绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；a（a＞0）（2）|a|=0（a=0）（代数意义）-a(a＜0)（3）若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；（4）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a，且|a|≥-a；（5）若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）（6）|ab|=|a|·|b|；|ba|=||||ba（b≠0）；0（7）|a|2=|a2|=a2；（8）|a+b|≤|a|+|b||a-b|≥||a|-|b|||a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a-b|一：比较大小典型题型：【1】已知a、b为有理数，且0a，0b，ba，则（）A：abba；B：abab；C：abba；D：aabb这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。因为是0a，0b，ba，所以我们就在原点的左边标记。如果你不知道谁在前面，你就自己找一个数字。如：4a，3b。34，又因为它们都是负数，所以4a。3b当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了。二：判断点的位置或者原点的位置经典题型【1】不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果cacbba，那么，点B在（）A：在A、C点的右边；B：在A、C点的左边；C：在AC点之间；D：上述三种均可能·这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形：cacbba0cacbba观察一下，三个式子最后的结果是“0”，而三个式子中刚好是2个a，2个b，2个c。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到0ba。0cb，0ca0cacbbacacbba0ab所以有：ba。cb，ca。画出数轴：由此可以得出B点在AC之间。但是原点呢？cba。A可以是正数也可以是负数。因此原点可以在a的左边也可以在右边。这样原点可以在AB之间，也可以在CB之间，还可以在C的左边。三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。典型题型【1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么，化简aba的结果是：A：2a-b;B：b；C：-b；D：-2a+b从图中我们可以很准确地知道：0a，0b，而且点b到原点的距离比点a到原点的距离还长，所以我们可以判断出0ba。如果你不知道自己是否判断对了，就采用数值法。设2a。4b。0642)4(2ba0ba直接开出来。于是，原式aba=baba【2】已知bca0，且cb；化简bacacacbcb虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。如2b。4c，5a从数轴上可以看出，0cb。0cb。0ca，0ca。0ba。由绝对值的性质可以得到bacacacbcb)()()()()(bacacacbcbbacacacbcbab33【3】若31a，则aa13这个题目给了a的取值范围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。31a，所以03a，而01a。如果你怕自己判断错误，不妨设一个数值，2a。记住一定是在1和3之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正abcab00bca确了。213)1()3(13aaaaaa如果没有给定区间，我们应该如何解答呢？【4】化简1213xx这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点，也就是绝对值里面的式子必须等于“0”，由此得到：013x，解得31x。012x，解得21x。31画数轴，然后将零值点标出，并延长其线段，再将属于零值点的式子标记上去。以零值点为分界线，数轴右边为正，左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分。第一部分：31x由图上箭头方向可知：013x。012xxxxxx5)12()13(1213第二部分：2131x由图上箭头方向可知：013x。012x2)12()13(1213xxxxx第三部分：21x由图上箭头方向可知：013x。012xxxxxx5)12()13(1213千万记住：取零值点！！！四：最小值或者最大值经典题型【1】设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？我们知道：绝对值是大于零的数，正数加正数会越来越大，所以，它会有最小值，而这个最小值是9+0=9.所以0ba。即|a+b|+9有最小值为9；如果是9-|a+b|呢？因为绝对值出来的数都是非负数，9减去一个非负数只能越来越小，所以，它就会有最大值9-0=9。0正负正负【2】设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值会越来越小。因此它会有一个最大值-8。小结：这类题目关键是加法还是减法。正数+绝对值时有最小值；正数-绝对值时有最大值；负数-正数时有最大值。【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”找出零值点，3,5,2，-1，-7|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|这个式子有5项，以此排序-7，-1，2，3，5，故取中间项：x=2|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=167212225232题后小结论：求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x等于最中间的数值时，该式子的值最小。当n为偶数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x取最中间两个数值之间的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。ABCDE五：求值经典题型【1】已知3x；4y，且yx，则yx解：3x所以：3x。4y，所以4yyx，所以4y解得：34xy这类题目注意条件。yx。只要y比x大就可以，这里y只能取4.而x可以取3和-3.因此就会有两个答案。【2】已知0abc，若ccbbaam432则1m解：因为0abc，故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负一正。（1）同为正，则1m24+1=25（2）同为负，则1m-24+1=-23（3）二正一负，则1m-24+1=-23（4）二负一正，则1m24+1=25综合：1m25或者1m-23【3】已知0abc，若ccbbaam432则1m这个题目将乘法改成加法，这时，我们需要讨论的情形就要多一些。（1）同为正数。ccbbaam432=2+3+4=9.所以，101m（2）同为负数。ccbbaam432=-2-3-4=-9所以，81m（3）a为正，b、c为负数5432432ccbbaam。所以，41m（4）a为正，b为正、c为负数1432432ccbbaam，所以，21m（5）a为正，b为负、c为正数3432432ccbbaam，所以，41m（6）a为负，b为正、c为负数3432432ccbbaam所以，21m（7）a为负，b为正、c为正数5432432ccbbaam所以，61m（8）a为负，b为负、c为正数1432432ccbbaam所以，01m这类题目一定要分别讨论。最好的办法就是逐一排除。【4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求cdxbax)(2解：a、b互为相反数，所以：a+b=0.c、d互为倒数,所以：cd=1x的绝对值等于1,所以12x0101)(2cdxbax六：0+0型0+0型有集中很典型的题型第一类：绝对值+绝对值：若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；因为绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0.【1】已知024yx，求yxyx=解：024yx，所以有：x-4=0.解得：x=4；y+2=0解得：y=-2则：34242yxyx【2】若3yx与1999yx互为相反数，求yxyx=解：互为相反数的两个数之和等于0.因此有：3yx+1999yx=0解得：x-y=-3;x+y=19993166631999yxyx第二类：绝对值+平方若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；因为绝对值出来的数都是非负数，而平方数也是一个非负数，两个非负数相加等于0，则各自为0.【2】若|x+3|+(y-1)2=0，求nxy)4(的值解：x+3=0,所以：x=-3；y-1=0。所以：y=1nnnxy)1()314()4(讨论：当n为偶数时：1)1()314()4(nnnxy当n为奇数时，1)1()314()4(nnnxy第三类：平方+平方若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；【3】已知0)4()2(22yx，求)(yxxy解：x-2=0。所以x=2；y+4=0，所以：y=-4628)42()4(2)(yxxy七：分数求和【1】已知2ab与1b互为相反数，求代数式)1999(19991)2)(2(1)1)(1(11bababaab）（解：2ab+1b=0解得：ab=2,b=1.a=2)1999(19991)2)(2(1)1)(1(11bababaab）（=20012000143132121=20011200014131312121=200111=20012000【2】化简1002110031200212003120031200411002110031200212003120031200