《电路》第五版邱关源第十五章

第十五章电路方程的矩阵形式割集15-1关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15-2矩阵A、Bf、Qf之间的关系*15-3回路电流方程的矩阵形式15-4结点电压方程的矩阵形式15-5列表法*15-7割集电压方程的矩阵形式*15-6首页本章重点重点1.关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩阵和基本割集矩阵的概念2.回路电流方程、结点电压方程和割集电压方程的矩阵形式返回15-1割集下页上页割集Q连通图G中支路的集合，具有下述性质：•把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。•任意放回Q中一条支路，仍构成连通图。876543219割集：(196)、(289)、(368)、(467)、(578)(36587)、(3628)是割集吗？问题返回基本割集只含有一个树枝的割集。割集数＝n-1①连支集合不能构成割集。下页上页注意876543219②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。当一个割集的所有支路都连接在同一个结点上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方程。返回下页上页注意③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独立割集，基本割集是独立割集，但独立割集不一定是单树支割集。返回15-2关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：下页上页1.图的矩阵表示结点支路关联矩阵回路支路回路矩阵割集支路割集矩阵返回下页上页2.关联矩阵A用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个结点b条支路的图用nb的矩阵描述：每一行对应一个结点，每一列对应一条支路。矩阵Aa的每一个元素定义为注意ajkajk=1支路k与结点j关联，方向背离结点。ajk=-1支路k与结点j关联，方向指向结点。ajk=0支路k与结点j无关。返回Aa=nb支路b结点n下页上页例2-11２３６５４①②④③特点①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个是-1，Aa的每一列元素之和为零。②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只有n-1行是独立的。返回Aa=1234123456支结写图示电路的图的关联矩阵A。解-1-1100000-1-1011001100100-1-1下页上页降阶关联矩阵A特点A的某些列只具有一个+1或一个-1，这样的列对应于与划去结点相关联的一条支路。被画去的行对应的结点可以当作参考结点。返回Aa=1234123456支结-1-1100000-1-1011001100100-1-1A=(n-1)b支路b结点n-1下页上页关联矩阵A的作用①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程。设:以结点④为参考结点0541643321iiiiiiiiin-1个独立方程矩阵形式的KCL:Ai=0返回i=[i1i2i3i4i5i6]TAi=-1-1100000-1-101100010iiiiii654321下页上页②用矩阵AT表示矩阵形式的KVL方程。设:T654321uuuuuuun3n2n1nuuuu3n2n1nnT010001101100000111uuuuAn23nn22nn11nn3n1uuuuuuuuuuuuuu654321nTKVLuAu矩阵形式的返回下页上页2.回路矩阵B独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。注意每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路。矩阵B的每一个元素定义为：bij1支路j在回路i中，且方向一致。-1支路j在回路i中，且方向相反。0支路j不在回路i中。返回B=lb支路b独立回路l下页上页例2-21２３６５４①②④③123给定B可以画出对应的有向图。注意基本回路矩阵Bf独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回路矩阵Bf。返回写图示电路的图的回路矩阵B。解123B=123456支回011001000-11-11-100-10②支路排列顺序为先连支后树支，回路顺序与连支顺序一致。下页上页①连支电流方向为回路电流方向。规定上例中选2、5、6为树，连支顺序为1、3、4。1２３６５４①②④③231BtBl=[1Bt]返回支123B=134256回100-1-100101010010-11下页上页回路矩阵B的作用①用回路矩阵B表示矩阵形式的KVL方程。设][652431uuuuuuuulut0654623521uuuuuuuuul个独立KVL方程矩阵形式的KVL：Bu=0返回Bu=100-1-100101010010-11uuuuuu652431Bfu=00][tltuuB1ul+Btut=0ul=-Btut设：连支电压可以用树支电压表示。②用回路矩阵BT表示矩阵形式的KCL方程。T652431][iiiiiii下页上页注意3l2l1lliiii独立回路电流返回下页上页l3l2l1110101011100010001iii1２３６５４①②④③23165243132l3l1l21l3l2l1liiiiiiiiiiiiiiill矩阵形式的KCL：BTil=i注意树支电流可以用连支电流表示。TtTfBB1tlliiiBTt1tlTtiiB返回下页上页3.基本割集矩阵Qf割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。注意每一行对应一个基本割集,每一列对应一条支路。矩阵Q的每一个元素定义为qij1支路j在割集i中，且与割集方向一致。-1支路j在割集i中，且与割集方向相反。0支路j不在割集i中。返回Q=(n-1)b支路b割集数下页上页规定①割集方向为树支方向。②支路排列顺序先树支后连支。③割集顺序与树支次序一致。基本割集矩阵Qf例2-31２３６５４①②④③选1、2、3支路为树。Q1:{1,4,5}Q2:{2,5,6}Q3:{3,4,6}返回写图示电路的图的基本割集矩阵Qf。解][lQ1下页上页1２３６５４①②④③基本割集矩阵Qf的作用①用基本割集矩阵Qf表示矩阵形式的KCL方程。设T654321][iiiiiii返回QlQtQf=123456支割集Q1Q2Q31001100100-1-100110-10643652541iiiiiiiii矩阵形式的KCL：Qfi=0下页上页1２３６５４①②④③n-1个独立KCL方程返回iiiiii654321Qfi=1001100100-1-100110-1设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[u1u2u3]T②用QfT表示矩阵形式的KVL方程。uuuuuuuuuuuuuuuuuuu654321t3t2t2t1t3t1t3t2t1t3t2t1tTf101100110010011001uQ矩阵形式的KVL：QfTut=u下页上页返回tTltTflt1uuQuuuQtTlluQu连支电压可以用树支电压表示。下页上页注意小结QABKCLKVLAi=0uuAnTtlTtiiBBTil=iul=-BtutBu=0Qfi=0lltiQiQTut=utTlluQu返回0nTuBuAu对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。*15-3矩阵A、Bf、Qf之间的关系1.A与B之间的关系0nTuAB下页上页返回00TTBAAB或0lTiQiBi对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有2.Bf与Qf之间的关系0lTiBQ00TTQBBQ或0TflTff11BQBQTtlBQ下页上页对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：返回lftfltQQBBAAA11对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵3.A与Qf之间的关系0TtltTf1BAAABl1tfAAQ1l1tTtlTtt0AABABA或l1tTtlAABQ-下页上页返回下页上页例3-1已知：12345求基本割集矩阵，并画出网络图。解011101011101TtlBQ因为0111010101fQ所以1２３５４①②③返回Bf=10100－11010－1000115-4回路电流方程的矩阵形式反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。1.复合支路下页上页规定标准支路kUs.Zk(Yk)+-kU.kI.kIs.kIe.+-返回下页上页复合支路特点①支路的独立电压源和独立电流源的方向与支路电压、电流的方向相反。②支路电压与支路电流的方向关联。③支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、电容、电感，而不能是它们的组合。返回kUs.Zk(Yk)+-kU.kI.kIs.kIe.+-kZ即kkkCLRj1j复合支路定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。下页上页注意00ss..kkIUZk(Yk)0s.kIZk(Yk)+-s.kU返回下页上页kUs.Zk(Yk)=0+-0s.kI0s.kUZk(Yk)kIs.kUs.+-kIs.Zk(Yk)=00s.kUZk(Yk)=0kIs.返回2.支路阻抗矩阵形式①电路中电感之间无耦合kkkkkUIIUZss)(下页上页如有b条支路，则有1s1s1()11ZUIUI)(s22s222UIIUZsbbsbbb)(UIIUZ返回kUs.Zk(Yk)+-kU.kI.kIs.kIe.+-设Tb21......UUUUTsbs2s1s......IIIITsbs21ss......UUUUTb21IIIIZ=diag[Z1Z2…Zb]支路电流相量列矩阵支路电压相量列矩阵电压源的电压相量列矩阵电流源的电流相量列矩阵下页上页阻抗矩阵返回ssZZIUIU整个电路的支路电压、电流关系矩阵：sb1ss1s1b211000000UUIIIIZZZUUbbbbb阶对角阵下页上页返回s12s21s111)(j)(jUIIMIILU下页上页②电路中电感之间有耦合返回M*1jLs1.U+-1.U1.Is1.Ie1.I+-*2jLs2.U+-2.U2.Is2.Ie2.I+-s21s12s222)(j)(jUIIMIILU下页上页2s1s2s211s2121jjjjUUIIIILMMLUUbbbbbUUIIIIZZLMMLUUUs1ss11s3212100000000jj00jj返回s12s21s111)(j)(jUIIMIILUs21s12s222)(j)(jUIIMIILU下页上页如1支路至g支路间均有互感1se13e132e12