第6章机械振动

1第6章振动2物体在一定的位置附近做来回往复的运动。机械振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。波动：振动状态在空间的传播。任何复杂的振动都可以看做是由若干个简单而又基本的振动的合成。这种简单而又基本的振动形式称为简谐运动。3xO6-1-1简谐运动的基本特征1.弹簧振子：一根轻弹簧和一个质点构成的振动系统。F胡克定律：（k为劲度系数）xkF§6-1简谐运动x4恢复力：始终指向平衡位置的作用力(1)在弹性限度内,弹性力F和位移x成正比.(2)弹性力F和位移x恒反向,始终指向平衡位置.由牛顿第二定律：xktxmF22ddxmktx22dd得令mk0dd222xtxtAxcos方程解为：52．单摆重力对水平轴的力矩：sinmglM转动定理:JM2mlJ22ddt222ddsintmlmglmgTOO即6sin0dd22lgt很小得0sindd22lgt令lg0dd222ttcos0方程解为：7bOCmg3.复摆重力力矩为：sinmgbM由转动定理，并考虑小角度摆动mgbmgbtJsindd22令Jmgb2则复摆的动力学方程：0dd222ttcos0方程解为：8xkF0dd222xtxtAxcos简谐运动的三项基本特征：运动的速度：)sin(ddtAtxvAmaxv加速度：)cos(dd2tAtavAa2maxOTtxax,,vAAavOA29tAxcos周期T：完成一次全振动所经历的时间。A：振幅（最大位移，x=±A）：角频率（圆频率）频率：单位时间内完成全振动的次数。π2Tπ26-1-2描述简谐运动的物理量10弹簧振子的频率:mkπ21弹簧振子的周期:kmTπ2π2结论：振动系统的频率和周期仅与系统本身的性质有关，而与其他因素无关。由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为固有频率和固有周期。单摆周期:glTπ2lgπ21单摆频率:11)2πcos()sin(mttAtxvvdd称为速度幅。速度相位比位移相位超前/2。Amv)πcos()cos(m2tatAtaddv称为加速度幅。加速度与位移反相位。Aa2m：振动的初相位。。(t+)：振动的相位。12比较：tAacos2tAxcos结论：做简谐运动的质点，其加速度与位移恒成正比，而方向相反。xa2即xtx222dd13解题方法由初始条件求解振幅和初相位：设t=0时，振动位移：x=x0振动速度：v=v0)(costAxcos0Ax)(sintAvsin0Av142020vxAcos0Axsin0Av222222020)cos(sinAAxv00tanxv注意：满足上式的初相位可能有两个值，具体取哪个值应根据初始速度方向确定。15例1如图,在光滑的水平面上,有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为1.60N/m,振子质量0.40kg,求在下面两种初始条件下的振动方程.(1)振子在0.10m的位置由静止释放;(2)振子在0.10m处向左运动,速度为0.20m/s.xmo解)(costAxrad/s20.401.60mk（1）0.10m2020vxA00tan00xvt=0,x0=0.10m,v0=016（2）振动方程：m2cos10.0txt=0,x0=0.10m,v0=-0.20m/sm20.12020vxAcos0Ax22cos4π0sin0Av4π振动方程：m)4π2cos(210.0tx17例2如图,两轻质弹簧,弹性系数分别为k1和k2,两滑块质量分别为M和m,叠放在光滑的桌面上,M与两弹簧连接着,M和m间存在摩擦,摩擦系数为.问m能跟随M一起水平运动,M的水平振动的最大振幅是多少?解gmmgamaxxkktxmM)(dd)(2122gkkmMaA212maxMm1k2kAa2maxmMkk212m随M运动最大加速度：运动方程：18例3如图,静止的弹簧振子质量M=4.99kg,一子弹质量m=10g以水平速度v0=1000m/s射入振子M并嵌入其中.弹簧的劲度系数k=8×103N/m,水平桌面光滑,求振动系统的振动方程.xmoM0vrad/s40mMk解动量守恒：vmv)(0mM2m/sv0cos0Ax2π190sinAv2π机械能守恒：222121kAm)(Mv0.05mA振动方程：m)2π40(cos05.0tx20旋转矢量A在x轴上的投影点M的运动规律：)cos(tAx结论：投影点M的运动为简谐振动。yx00tAPM6-1-3简谐运动的旋转矢量表示法21•旋转矢量A旋转一周，M点完成一次全振动。•旋转矢量的模A：振幅•旋转矢量A的角速度：角频率•t=0时，A与x轴的夹角：初相位。•旋转矢量A与x轴的夹角(t+)：相位π2T周期：yx0tAPM22例4一质点沿x轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s.当t=0时,位移为0.06m,且向x轴正方向运动.求:(1)振动方程;(2)如果在某时刻质点位于x=-0.06m,且向x轴负方向运动,从该位置回到平衡位置所需最短时间.解(1)简谐振动表达式：已知：A=0.12m,T=2s，rad/sππ2T初始条件：t=0时，x0=+0.06m,v00)(costAxtxcos12.0230.06=0.12cos3πcos210sin0Av0sin3π振动方程：m)3cos(12.0ππtxyx3π3π(2)设在某一时刻t1，x=-0.06m)3ππ(cos12.006.01t243π43π23ππ1或ts13π23ππ11ttyx3π23π4s6112π33ππ22tts65161112ttt21)3ππ(cos1t用旋转矢量法求解，直观方便.25例5图为质点做简谐振动的x-t曲线，求振动方程。)(costAxcm)2ππ(cos10txπrad/sπ2Tcm10A2π解A/cmx/stO101021由旋转矢量图可知：266-1-4简谐运动的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子势能：xxOvm27谐振系统的总机械能：pkEEE)(costAxtAmE222ksin21tkAE22pcos21km22m222212121vmAmkAEtxEtpEOOkE28（1）振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2）动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。（3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）结论：2p21kxE弹性势能pkEEEExOAApEkEE292kp21kAEEEEAkkxEAx4122121222p时：当例6当简谐振动的位移为振幅的一半时,其动能和势能各占总能量的多少?物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半?解EEEE43pk220212121kAkxAx22030例7如图U型管中的液体总长度为L，求该液体振动起来后的圆频率。解建立如图坐标系解法一液体受到的回复力（重力）：Syg2SygtySL2dd22运动方程：02dd22yLgtyLg231解法二液面升高到y时的机械能：ESygytySL2)dd(21（常数）对t求导，得：0)dd(2)dd)(dd(22tyygtytyL02dd22yLgtyLg2321M2M例8两物体M1与M2质量都为m,如图用轻质绳连接,M1放在光滑的桌面上,一端用轻质的劲度系数为k的弹簧连接,M2通过轻质滑轮竖直垂挂.当弹簧为自然伸长时M1与M2的系统无初速度释放.求弹簧最大伸长量,M1的最大速度及振动周期？Ox解设弹簧自然伸长处为原点,建立如图坐标系机械能守恒：021dd22122mgxkxtxm0ddtx弹簧伸长量最大：kmgx2max33系统机械能对t求导,得：022dd22gxmktx0dd22tx平衡位置Akmgx0平衡位置振子速度：212maxmax2ddkmgtxvmkA2maxvkmT2π2341.同一直线上两个同频率简谐振动的合成某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：)cos(111tAx)cos(222tAx§6-2简谐振动的合成6-2-1简谐振动的合成3521AAA21xxx)cos(tAx2x2A2xA一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。结论：1xx11A36)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinarctanAAAA,2,1,0π2:)1(12kk若212122212:AAAAAAA则,2,1,0)12(:)2(12kkπ若212122212:AAAAAAA则37例9两个同方向的简谐振动曲线(如图所示)（1）求合振动的振幅；（2）求合振动的振动方程。12AAA1AA解Tπ20cos11A2π2π110cos22A2π2π222A)2ππ2cos(12tTAAx2π由矢量图:x2A1AT)(1tx)(2txtO382.同一直线上两个频率相近的简谐振动合成相对于的转动角速度：2A1A两矢量同向重合时：合振动振幅极大A两矢量反向重合时：拍现象：合振动的振幅时强时弱的现象121AxO212A121A2AAA合振动振幅极小A391212π212π2T拍的周期：拍的频率：从解析式来分析：)cos(11tAx)cos(22tAx)2cos(2cos2)cos()cos(12122121ttAtAtAxxx40ttAx2cos2cos212121212当时tA2cos212——随时间作缓慢周期性变化的振幅拍周期：12122π2/πT41423.相互垂直的简谐振动的合成两个同频率相互垂直简谐振动的合成)cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxyx——椭圆方程43讨论：时或(1))π2(01201212AAxAAy斜率0221AyAx2212AAA合振动的振幅结论：质点在1、3象限做线振动yx44时(2)π1201212AAxAAy斜率0221AyAx22