12用奇偶函数与图象的平移

奇(偶)函数与图象的平移复习回顾奇函数:偶函数:(1)y=f(x)向右平移m个单位得到y=f(x-m);y=f(x-m)向左平移m个单位得到y=f(x).(2)y=f(x)向左平移m个单位得到y=f(x+m);y=f(x+m)向右平移m个单位得到y=f(x).满足f(-x)=-f(x)，其图象关于原点(即点(0,0))对称；满足f(-x)=f(x)=f(|x|)，其图象关于y轴(即直线x=0)对称.一、函数的奇偶性二、图象的平移：m0此公式经常用于解关于偶函数的不等式回顾练习1.已知定义在(-3,3)上的偶函数f(x)在[0,3)上是增函数,则使不等式f(2x-1)≤f(x-2)成立的实数x的取值范围是（）A.[-1，1]B.（-1，1）C.[-1，1)D.(-1，1]解：∵f(x)是偶函数,∴f(2x-1)≤f(x-2)等价于f(|2x-1|)≤f(|x-2|),又∵f(x)在[0,3)上是增函数,∴|2x-1|≤|x-2|,∴(2x-1)2≤(x-2)2,∴(2x-1+x-2)(2x-1-x+2)≤0,即(3x-3)(x+1)≤0,解得-1≤x≤1,又∵f(x)定义在(-3,3)上．3213,323xx12,x解得综上,x的取值范围是-1x≤1.D回顾练习2.已知偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,则使f(2x-)＜f()的x取值范围是.32121(,1)23.定义在[-1,1]上的奇函数,若m,n∈[-1,1],m+n≠0时有,则不等式f(x+)+f(2x−1)＜0的解集是．12()()fmfnmn0＞16{x|0≤x＜}4.设f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数在(0,1)上增,若f(a-2)-f(4-a2)＜0,则a的取值范围为．()()3225，，5.已知奇函数f(x)定义域为(-1,1),且为增函数,若f(2a)+f(a-1)＞0,求a的范围.1132（，）新课内容函数f(x-m)关于1.若函数f(x)为偶函数,则函数f(x+m)关于直线x=m对称;直线x=-m对称.函数f(x)关于2.若函数f(x-m)为偶函数,则函数f(x)关于直线x=-m对称;直线x=m对称.3.若函数f(x+m)为偶函数,则函数f(x-m)关于4.若函数f(x)为奇函数,则函数f(x+m)关于点(m,0)对称;点(-m,0)对称.函数f(x)关于5.若函数f(x-m)为奇函数,则函数f(x)关于点(-m,0)对称;点(m,0)对称.6.若函数f(x+m)为奇函数,则结论：例已知y=f(x-1)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴是()A.x=1B.x=-1C.x=0.5D.x=-0.5故选B．解:∵y=f(x-1)是偶函数,∴y=f（x-1）图象关于y轴对称,∵函数f(x)是由y=f(x-1)向左平移1个单位，∴函数f（x）图象的对称轴是x=-1,B题型一、判断函数的对称轴练习1.已知y=f(x+1)是偶函数,则函数f(x)图象的对称轴是()A.x=1B.x=-1C.x=0.5D.x=-0.5A2.已知y=f(x)是偶函数,则函数f(x+1)图象的对称轴是()A.x=1B.x=-1C.x=0.5D.x=-0.5B3.已知y=f(2x+1)是偶函数,则函数f(2x)图象的对称轴是()A.x=1B.x=-1C.x=0.5D.x=-0.5B4.已知f(2x+1)是偶函数,则y=f(2x)的图象的对称轴是直线．12x＝5.已知f(x)为偶函数,则函数f(x-1)的图象一定关于直线对称．x=1(2014•濮阳二模)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＜0恒成立,则不等式f(1-x)＜0的解集为()A.(1,+∞)B.(0,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,1)故选C.解:∵不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＜0恒成立,∴函数f(x)是定义在R上的减函数,又∵函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,∴函数f(x+1)过点(0,0),∴函数f(x)过点(1,0),1∴f(1)=0.∴f(1-x)＜0=f(1),∴1-x＞1,∴x＜0.题型二、利用单调性解不等式解答本题关键点有三处：①判断出函数f(x)的单调性;②利用奇函数的性质得到函数f(x)过(1,0)点,即f(1)=0；③解不等式最终用单调区间求解,必须有这种数学思想.∵函数f(x)是定义在R上的减函数,1.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,若对于任意给定的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＞0恒成立,则不等式f(x+2)＜0的解集为（）A.(1,+∞)B.(-∞,-3)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)练习解：∵y=f(x-1)是定义在R上的奇函数,函数y=f(x)关于点(-1,0)对称,f(-1)=0．x1≠x2时,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]＞0恒成立,∴y=f(x)为R上的增函数,∵f(x+2)＜0=f(-1),∴x+2＜-1,∴x＜-3,不等式f(x+2)＜0的解集为(-∞,-3).故选B.-1练习2.(2013•济宁二模)已知函数y=f(x-1)是偶函数,当x∈(-∞,-1)时,函数y=f(x)单调递减.设a=f(1),b=f(-2),c=f(),则a、b、c的大小关系为()A.c＜a＜bB.a＜b＜cC.a＜c＜bD.c＜b＜a22log2解：∵y=f(x-1)为偶函数,∴f(x)的图象关于x=-1对称,又f(x)在(-∞,-1)上单调递减,∴f(x)在(-1,+∞)上单调递增,∵f(x)的图象关于x=-1对称,∴b=f(-2)=f(0)，22log2c=f()=f(),1212而-1＜＜0＜1,∴f()＜f(0)＜f(1),即c＜b＜a.12故选D.D练习故选B.B3.(2013•东莞二模)定义在R上的函数f(x)满足下列三个条件:①f(x+3)=；②对任意3≤x1＜x2≤6,都有f(x1)＜f(x2);③y=f(x+3)是偶函数.则下列结论中正确的是()A.f(3)＜f(7)＜f(4.5)B.f(3)＜f(4.5)＜f(7)C.f(7)＜f(4.5)＜f(3)D.f(7)＜f(3)＜f(4.5)1()fx1()fx解：∵f(x+3)=，1161(3)()fxfxfxfx（）；∴函数周期为6，故f(7)=f(6+1)=f(1).又∵y=f(x+3)为偶函数,∴y=f(x)的图象关于x=3轴对称.∴f(1)=f(5)．又对任意3≤x1＜x2≤6,都有f(x1)＜f(x2),∴f(x)在[3,6]上是增函数;∴f(3)＜f(4.5)＜f(5)=f(1)=f(7).练习A4.设y=f(x-1)是R上的奇函数,若y=f(x)在(-1,+∞)上是增函数,且f(0)=1,则满足f(m)＞-1的实数m的范围是（）A.（-2，+∞）B.（-1，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，0）解：∵y=f（x-1）是R上的奇函数，∴y=f（x-1）关于（0，0）对称，故y=f（x）关于（-1，0）对称，∴f（-2）=-f（0）=-1，f（m）＞-1=f（-2），又∵y=f（x）在（-1，+∞）上是增函数，∴y=f（x）在R上是增函数，∴m＞-2，故选A.例2(2014•濮阳二模)定义在R上的函数y=f(x)满足:对于在(-∞,a)上任意的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0恒成立;函数y=f(x+a)是偶函数,当x1＜a,x2＞a,且|x1-a|＜|x2-a|时,有()A.f(x1)＞f(x2)B.f(x1)≥f(x2)C.f(x1)＜f(x2)D.f(x1)≤f(x2)∴f(x1)＞f(x2)．练习解：方法一利用单调性：∵y=f(x+a)是偶函数,∴y=f(x)关于x=a对称,∵xa时,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0恒成立,∴y=f(x)在(-∞,a)上是增函数,∴在y=f(x)在(a,+∞)上是减函数,a∵x1＜a,x2＞a,|x1-a|＜|x2-a|,故选A．∴f(2a-x1)=f(x1).∴a-x1＜x2-a,∴2a-x1＜x2,且2a-x1＞a,x2＞a,∵(a,+∞)上是减函数,∴f(2a-x1)＞f(x2),∵f(x)关于x=a对称，例2(2014•濮阳二模)定义在R上的函数y=f(x)满足:对于在(-∞,a)上任意的不等实数x1,x2,不等式(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0恒成立;函数y=f(x+a)是偶函数,当x1＜a,x2＞a,且|x1-a|＜|x2-a|时,有()A.f(x1)＞f(x2)B.f(x1)≥f(x2)C.f(x1)＜f(x2)D.f(x1)≤f(x2)∴f(x1)＞f(x2)．练习解：方法二利用对称性,∴y=f(x)关于x=a对称,∵xa时,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]0恒成立,∴y=f(x)在(-∞,a)上是增函数,∴在y=f(x)在(a,+∞)上是减函数,a∵x1＜a,x2＞a,|x1-a|＜|x2-a|,∴x1,x2在直线x=a两侧,且x2离直线x=a更远一些，故选A．∵y=f(x+a)是偶函数,1.定义在R上的函数y=f(x),在(-∞,2)上是增函数,且函数y=f(x+2)是奇函数,当x1＜2,x2＞2,且|x1-2|＜|x2-2|时,则f（x1）+f（x2）的值（）A.可能为0B.恒大于0C.恒小于0D.可正可负练习B2.(2013•渭南二模)已知f(x)在(0,2)上是增函数,f(x+2)是偶函数,那么正确的是()A．f(1)＜f(2.5)＜f(3.5)B．f(3.5)＜f(1)＜f(2.5)C．f(3.5)＜f(2.5)＜f(1)D．f(2.5)＜f(1)＜f(3.5)3.已知定义域为R的函数y=f(x)在(1,+∞)上是增函数,且函数y=f(x+1)是偶函数,那么()A.f(0)＜f(-1)＜f(4)B.f(0)＜f(4)＜f(-1)C.f(4)＜f(-1)＜f(0)D.f(-1)＜f(0)＜f(4)A4.函数f(x+2)是偶函数,f(x+2)在[0,+∞)上为减函数,则f(-1),f(0),f(3)的大小关系为．f（3）＜f（0）＜f（-1）新课内容结论：(1)若函数f(x+a)为偶函数,则函数f(-x+a)=f(x+a).(2)若函数f(x+a)为奇函数,则函数f(-x+a)=-f(x+a).证明:(1)设F(x)=f(x+a),∵F(x)为偶函数,∴F(-x)=F(x),∴f(-x+a)=f(x+a).一方面,由f(-x+a)=f(x+a)可得,函数f(x)关于对称.另一方面,由f(x+a)为偶函数可得f(x+a)关于对称,进一步得到函数f(x)关于对称.事实上直线x=ay轴直线x=a(3)若函数f(x)为偶函数,则函数f(-x-a)=f(x+a).(4)若函数f(x)为奇函数,则函数f(-x-a)=-f(x+a).证明:(3)设t=x+a,∵f(x)为偶函数,∴f(-t)=f(t),∴f(-x-a)=f(x+a).例1已知函数f(x+1)是奇函数,f(x-1)是偶函数,且f(2)=4,则f(2014)=()解:∵函数f(x+1)是奇函数,题型三、求函数值∴函数f(x)关于点(1,0)对称,∵f(x-1)是偶函数,∴函数f(x)关于直线x=-1对称,∴f(x)=-f(2-x),∴f(x)=f(-2-x),∴f(2-x)=-f(-2-x),∴f(4-x)=f[2-(x-2)]=-f[-2-(x-2)]=-f(-x),∴f(8-x)=f[4-(x-4)]=-f[-(x-4)]=-f(4-x)=f(-x),∴f(x)的周期为8,∴f(2014)=f(215×8+6)=f(6)=f(8-2)=f(-2),∵f(2-x)=-f(-2-x),∴f(2)=-f(-2),∴f(-2)=-f(2)=-4.推导出这个关系式很关键例2定义在R上的偶函数f(x)