第43讲机械振动简谐运动的基本概念

第43讲：机械振动——简谐运动的基本概念内容：§14－1，§14－21．简谐运动（50分钟）2．描述简谐运动的物理量（50分钟）要求：1．掌握描述简谐运动的特征量——振幅、周期、频率、相位的物理意义，并能熟练地确定振动系统的特征量，从而建立简谐运动方程；2．掌握描述简谐运动的旋转矢量方法与图示法的特点，并会应用于简谐运动规律的讨论与分析。重点与难点：1．简谐运动的动力学方程和运动学方程；2．振幅与初相位的确定；作业：问题：P35：1，2，7，8习题：P37：2，5，8，11预习：§14－3，§14－4，§14－5第43讲机械振动——简谐振动的基本概念1第十四章机械振动引言：1．什么是振动(Vibration)振动是自然界和工程技术领域常见的一种运动，广泛存在于机械运动、电磁运动、热运动、原子运动等运动形式之中。从狭义上说，通常把具有时间周期性的运动称为振动。如钟摆、发声体、开动的机器、行驶中的交通工具都有机械振动。广义地说，任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，都称为振动。变化的物理量称为振动量，它可以是力学量，电学量或其它物理量。例如：交流电压、电流的变化、无线电波电磁场的变化等等。2．什么是机械振动(MechanicalVibration)机械振动是最直观的振动，它是物体在一定位置附近的来回往复的运动，如活塞的运动，钟摆的摆动等都是机械振动。3．研究机械振动的意义不同类型的振动虽然有本质的区别，但是仅就振动过程而言，振动量随时间的变化关系，往往遵循相同的数学规律，从而使得不同本质的振动具有相同的描述方法。振动是自然界及人类生产实践中经常发生的一种普遍运动形式，研究机械振动的规律也是学习和研究其它形式的振动以及波动、无线电技术、波动光学的基础。4．机械振动的特点（1）有平衡点。（2）且具有重复性，即具有周期性。5．机械振动的分类（1）按振动规律分：简谐、非简谐、随机振动。（2）按产生振动原因分：自由、受迫、自激、参变振动。（3）按自由度分：单自由度系统、多自由度系统振动。（4）按振动位移分：角振动、线振动。（5）按系统参数特征分：线性、非线性振动。简谐振动是最基本的振动，存在于许多物理现象中。本章主要研究简谐振动的规律，也简单介绍阻尼振动、受迫振动、共振等。本章内容有：§14－1简谐运动§14－2简谐运动的振幅、周期（频率）与相位§14－3旋转矢量§14－4单摆与复摆§14－5简谐运动的能量§14－6简谐运动的合成§14－7阻尼振动、受迫振动、共振第43讲机械振动——简谐振动的基本概念2§14－1简谐运动SimpleHarmonicVibration在一切振动中，最简单和最基本的振动称为简谐运动，其运动量按正弦函数或余弦函数的规律随时间变化。任何复杂的运动都可以看成是若干简谐运动的合成。本节以弹簧振子为例讨论简谐运动的特征及其运动规律。一、简谐运动的基本概念：1．弹簧振子：轻质弹簧(质量不计)一端固定，另一端系一质量为m的物体，置于光滑的水平面上。物体所受的阻力忽略不计。设在O点弹簧没有形变，此处物体所受的合力为零，称O点为平衡位置。系统一经触发，就绕平衡位置作来回往复的周期性运动。这样的运动系统叫做弹簧振子（harmonicOscillator），它是一个理想化的模型。2．弹簧振子运动的定性分析：考虑物体的惯性和作用在物体上的弹性力：B→O：弹性力向左，加速度向左，加速，O点，加速度为零，速度最大；O→C：弹性力向右，加速度向右，减速，C点，加速度最大，速度为零；C→O：弹性力向右，加速度向右，加速，O点，加速度为零，速度最大；O→B：弹性力向左，加速度向左，减速，B点，加速度最大，速度为零。物体在B、C之间来回往复运动。结论：物体作简谐运动的条件：物体的惯性——阻止系统停留在平衡位置作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置二、弹簧振子的动力学特征：1．线性回复力分析弹簧振子的受力情况。取平衡位置O点为坐标原点，水平向右为X轴的正方向。由胡克定律可知，物体m(可视为质点)在坐标为x(即相对于O点的位移)的位置时所受弹簧的作用力为f=-kx式中的比例系数k为弹簧的劲度系数（Stiffness），它反映弹簧的固有性质，负号表示力的方向与位移的方向相反，它是始终指向平衡位置的。离平衡位置越远，力越大；在平衡位置力为零，物体由于惯性继续运动。这种始终指向平衡位置的力称为回复力。2．动力学方程及其解根据牛顿第二定律，f=ma可得物体的加速度为第43讲机械振动——简谐振动的基本概念3xmkmfa对于给定的弹簧振子，m和k均为正值常量，令mk＝2则上式可以改写为xa2即xdtxd222或0222＝＋xdtxd这就是简谐运动的微分方程。三、简谐运动的运动学特征：1．简谐振动的表达式（运动学方程）简谐运动的微分方程的解具有正弦、余弦函数或指数形式。我们采用余弦函数形式，即)cos(tAx这就是简谐运动的运动学方程，式中A和φ是积分常数。说明：1）简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦函数。2）考虑三角函数与复数的关系sincosiei，则)t(iAex。用复数表示简谐运动，其优点是运算比较简单。2．简谐振动物体的速度和加速度将简谐运动的运动学方程分别对时间求一阶和二阶导数，可得简谐运动的速度和加速度为)tcos()tsin(222AdtxdaAdtdxv说明：物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变化的。简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的——只有正弦函数、余弦函数或它们的组合才具有这种性质——采用余弦函数。二、简谐运动的特点：1．从受力角度来看——动力学特征合外力f=-kx与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。此合外力又称为线形回复力或准弹性力。2．从加速度角度来看——运动学特征加速度xa2与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移的方向相反，并且总是指向平衡位置的。3．从位移角度来看：oTtx、、ax2A0000a0000减速加速减速加速AA-A-A-2Aa第43讲机械振动——简谐振动的基本概念4位移)cos(tAx是时间的周期性函数。说明：1）要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个；2）要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析，得到物体所受的合外力满足回复力的关系。例题：一个轻质弹簧竖直悬挂，下端挂一质量为m的物体。今将物体向下拉一段距离后再放开，证明物体将作简谐运动。证明：取物体平衡位置为坐标原点，竖直向下为x轴的正方向，如图所示。物体在平衡位置时所受的合力为零，即mg-kl=0(1)其中mg为物体的重力，l为物体平衡时弹簧的伸长量。在任一位置x处，物体所受的合力为F=mg-k(x+l)(2)比较(1)、(2)可得F=-kx(3)可见物体所受的合外力与位移成正比，而方向相反，所以该物体将作简谐运动。第43讲机械振动——简谐振动的基本概念5§14－2简谐运动的振幅、周期和相位Amplitude,PeriodandFrequency，PhaseofSimpleharmonicVibration现在我们讨论简谐振动运动学方程x=Acos(ωt+φ)中的A、ω、ωt+φ、φ的物理意义。它们分别是描述谐振动的特征量：振幅、频率和周期、相位和初相。振幅、周期和相位等都是描述简谐运动的物理量。一、振幅A(Amplitude)—反映振动幅度的大小引入：在简谐运动的表达式中，因为余弦或正弦函数的绝对值不能大于1，所以物体的振动范围为+A与-A之间。定义：作简谐运动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。说明：(1)A恒为正值，单位为米(m);(2)振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初始条件确定。二、周期T(Period)与频率(Frequency)—反映振动的快慢1．周期Period定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位为秒(s)。])(cos[)cos(TtAtAx考虑到余弦函数的周期性，有2＝T因而有2T2．频率Frequency定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν表示，单位为赫兹(Hz)。21T＝3．圆频率AngularFrequency定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s-1)。T22说明：1）简谐运动的基本特性是它的周期性；2）周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。3）对于弹簧振子，mk＝，mk21，kmT2。4）简谐运动的表达式可以表示为)2cos()2cos()cos(tAtTAtAx三、相位(Phase)—反映振动的状态1．相位质点在某一时刻的运动状态可以用该时刻的位置和速度来描述。对于作简谐运动的物体来说，位置和速度分别为x=Acos(t+)和v=-ωAsin(t+)，当振幅A和圆频率ω给定时，物体在t时刻的位置和速度完全由t+来确定。即t+第43讲机械振动——简谐振动的基本概念6是确定简谐运动状态的物理量，称之为相位。相位（ωt+φ）是决定谐振子运动状态的重要物理量ωt+φ，和A，ω一起决定t时刻物体运动状态，即位移x,速度v，和加速度a.在一次全振动中，谐振子有不同的运动状态，分别与0～2内的一个相位值对应。例如：txvt+0A0T/4AT/2ATA022．初相位在t=0时，相位为φ，称为初相位，简称初相，它是决定初始时刻物体运动状态的物理量。对于一个简谐运动来说，开始计时的时刻不同，初始状态就不同，与之对应的初相位就不同，即初相位与时间零点的选择有关。结论：对于一个简谐运动，若A、ω、φ已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息。因此，我们把A、ω、φ叫做描述简谐运动的三个特征量。3．相位差：定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不同时刻的相位之差。对于同频率简谐运动、同时刻的相位差)tcos()tcos(222111AxAx相位差1212)t()t(＝即两个同频率的简谐运动在任意时刻的相位差是恒定的。且始终等于它们的初始相位差。说明：1）0质点2的振动超前质点1的振动0质点2的振动落后质点1的振动2）,....2,1,0,2kk，同相（步调相同）,....2,1,0,)12(kk，反相（步调相反）小结：对于一个简谐运动，若振幅、周期和初相位已知，就可以写出完整的运动方程，即掌握了该运动的全部信息，因此我们把振幅、周期和初相位叫做描述简谐运动的三个特征量。四、积分常数A和φ的确定：简谐运动运动学方程为x=Acos(t+)其中圆频率是由系统本身的性质确定的，积分常数A和φ是求解简谐运动的微分方程是引入的，其值有初始条件（即在t=0时物体的位移与速度）来确定。将t=0代入位移和速度的公式，即得物体在初始时刻的位移x0和初速度v0：sincos00AvAx由此可解得第43讲机械振动——简谐振动的基本概念7002020xvtgvxA＝说明：1）一般来说φ的取值在－π和π(或0和2π)之间；2）在应用上面的式子求φ时，一般来说有两个值，还要有初始条件来判断应该取哪个值；3）常用方法：由2020vxA＝求A，然后由sincos00AvAx两者的共同部分求φ。例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长到0.04m处释放。求振动方程。解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和φ即可。由题