特征函数

下页上页返回第四章特征函数§4.1一维特征函数的定义及其性质§4.2多维随机变量的特征函数§4.3母函数下页上页返回§4.1一维特征函数的定义及其性质一、定义及例二、性质三、特征函数与矩的关系四、反演公式及惟一性定理下页上页返回随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。1,12iii虚数单位jj,j211Zabjjtecostjsint欧拉公式=Zabjr(cosisin)下页上页返回2.复随机变量的数学期望若复随机变量为jYXZ其中X,Y均为实随机变量,则Z的数学期望定义为)()()(YjEXEZEcos()sin()jtetjt=E[()()cos()][sin()]jttEetjEt)()sin()()(cosxdFtxjxdFtx()jtxedFx下页上页返回一、定义及例定义4.1.1设ξ是定义在概率空间上的随机变量,它),,(PF的分布函数为,称的数学期望为ξ的特征函数.)(xF()jtEejte有时也称为分布函数的特征函数,其中)(xF.,1Rtj记ξ的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为()t).(t1.特征函数的定义下页上页返回一、定义及例cossinjtetjt()()jttEeE(cost)jE(sint)+定义4.1.1设ξ是定义在概率空间上的随机变量,它),,(PF的分布函数为,称的数学期望为ξ的特征函数.)(xF()jtEejte有时也称为分布函数的特征函数,其中)(xF.,1Rtj记ξ的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为()t).(t1.特征函数的定义下页上页返回3.特征函数的计算(1)离散型()()jttEekkjtxpek(2)连续型()()jttEe()jtefxdx=E[()()cos()][sin()]jttEetjEt)()sin()()(cosxdFtxjxdFtxcossinjtetjt下页上页返回注意点(1)特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：(1)欧拉公式：cos()sin()itxetxitx(2)复数的共轭：abiabi(3)复数的模：22abiab下页上页返回例4.1.1设随机变量ξ服从退化分布,即1{}Pc求X的特征函数.kjtxjtkk(t)E(e)ep1kjtxkkjtc(t)epejtce下页上页返回例4.1.2设随机变量ξ服从参数为p的0-1分布(两点分布),求其特征函数.kjtxjtkk(t)E(e)ep+-jtjt(t)epep101+qjtep下页上页返回例4.1.3设随机变量ξ服从参数为n,p的二项分布,求其特征函数.kjtxjtkk(t)E(e)ep01nnkkkjtknk(t)Cppe-01nnkkjtknkC(pe)p-+q)jtn(pe下页上页返回例4.1.4设随机变量ξ服从参数为的泊松分布,求其特征函数.kjtxjtkk(t)E(e)ep0kjtkke(t)ek!0jtkkeek!（）jteee1jtee-（）下页上页返回例4.1.6设随机变量ξ服从参数为的指数分布,求其特征函数.jtjtx(t)E(e)ef(x)dx0jtxx(t)eedxxcostxisintx)edx0（+xxcostxedxisintxedx002122221tjti()tt+下页上页返回例4.25~(0,1),XN设求其特征函数。下页上页返回二、特征函数的性质;1)0(|)(|)1(t.)()()2(tt性质4.1.1随机变量X的特征函数满足:性质4.1.2设ξ的特征函数为,则的特征函数为)(tXYab()()jbtYteatitYY(t)EeitEe（a+b)itaitbitbEeeeat下页上页返回例4.10222201()()/,~(,)()()()ttjtjtYYNteYtete解：令易知，其特征函数为，而，由特征函数的性质有求其特征函数。设),,(~2NY下页上页返回性质4.1.3随机变量ξ的特征函数在R上一致连续.)(t下页上页返回性质4.1.4随机变量ξ的特征函数是非负定的,即对任意正)(t整数n,任意复数,以及有nzzz,,,21,,,2,1,nrRtr0)(1,nsrsrsrzztt下页上页返回波赫纳-辛钦定理若函数连续,非负定且,)(),(Rtt1)0(则必为特征函数.)(t下页上页返回三、特征函数与矩的关系定理4.1.1设随机变量ξ的n阶矩存在,则ξ的特征函数的k)(t)()(tk阶导数存在,且0()()()kkkEjnk2(0)()()(0)((0))特别EDi下页上页返回例4.122~(,),N设由特征函数求其期望与方差。22222222222222000()()()()()()(j)()(j)()()()()(())tjttjtttjtjttetteteteEjD解：的特征函数为从而所以下页上页返回四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)设随机变量ξ的分布函数和特征函TTjtxjtxTdttjteexFxF)(21lim)()(2112数分别为和,则对于的任意连续点和,)(xF)(xF)(t1x)(212xxx有若记,2,21221xxhxxa(4.1.8)则(4.1.8)等价于TTjtaTdttetthhaFhaF)(sin1lim)()(下页上页返回四、反演公式及唯一性定理TTjtxjtxTdtjteexFxF2121lim)()(12(4.1.8))]()([lim)(11xFxFxFx}{21xXxPTTjtxjtxTxdttjtee)(21limlim11连续点:不连续点:2)()0()(~xFxFxF)(~)(xFt反演公式下页上页返回推论1(惟一性定理)分布函数及恒等的充分必要条)(1xF)(2xF件为它们的特征函数及恒等.)(1t)(2t下页上页返回推论2设随机变量X的特征函数于R上绝对可积,则X为具有密度函数的连续型随机变量,且)(t)(xfdttexfjtx)(21)(下页上页返回例设随机变量X的特征函数221)(tet求随机变量X的密度函数.下页上页返回定理4.1.3设X为取整数值及0的随机变量,其概率函数为kpkXP}{,3,2,1,0,1,2,3k其特征函数为kjtkkept)(则dttepjtkk)(21下页上页返回§4.2多维随机变量的特征函数一、定义及例二、二维随机变量特征函数的性质三、相互独立随机变量和的特征函数下页上页返回一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为),,(yxF21,tt为任意实数,记][),()(2121YtXtjeEtt),()(21yxdFeytxtj称为的特征函数.),(21tt),(YX连续型:][),()(2121YtXtjeEttdxdyyxfeytxtj),()(21下页上页返回一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为),,(yxF21,tt为任意实数,记][),()(2121YtXtjeEtt),()(21yxdFeytxtj称为的特征函数.),(21tt),(YX离散型:][),()(2121YtXtjeEttrsstrtjsrpe),()(21其中}.,{),(sYrXPsrp下页上页返回例4.2.1设二维随机变量的分布列为31}1,1{YXP31}1,1{YXP61}1,1{YXP61}1,1{YXP求二维随机变量的特征函数．),(YX),(YX下页上页返回例4.2.2设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．),(YX).;,;,(~),(2211rmmNYX)2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeett下页上页返回n维随机变量的特征函数:定义设有n维随机变量][),,,()(212211nnXtXtXtjneEttt),,,(21nXXX则称为n维随机变量的特征函数.),,,(21nXXX下页上页返回二、二维随机变量特征函数的性质性质4.2.1设随机变量的特征函数为，则有),(YX),(21tt(1)且对任意,1)0,0(,,21Rtt.1)0,0(|),(|21tt(2);),(),(2121tttt(3)于实平面上一致连续；),(21tt(4));()0,(111tt).(),0(222tt其中分别为Ｘ及Ｙ的特征函数．)(),(2211tt下页上页返回性质4.2.2设皆为常数,为二维随机变量,则2121,,,bbaa),(YX随机变量的特征函数为),(2211bYabXa).,(),(2211)(212211tataettbtbtj下页上页返回性质4.2.3两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等.下页上页返回性质4.2.4设随机变量的特征函数为为任),(YXbaatt,,),,(2121意常数,则的特征函数为bYaXaZ21).,()(21tataetjtbZ下页上页返回例4.2.5设二维随机变量求分布.2211mYmXZ).;,;,(~),(2211rmmNYX)2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeettcbYaXZ下页上页返回定理4.2.1随机变量服从二维正态分布的充分必要条件是X与Y的任一线性组合),(YXcbYaX服从一维正态分布.其中a,b,c为任意常数,且a,b不全为0.下页上页返回定理4.2.2设为二维随机变量,存在,则其特征函),(YX)(skYXE数的偏导数存在,且),(22ttsksktttt2121),(.]),([)(02121)(21ttskskskskttttjYXE下页上页返回例4.2.6设二维随机变量求分布.)(),(),(),(22XYEYEXEXE).;,;,(~),(2211rmmNYX)2(21)(212222212121212211),(ttrttmtmtjeett下页上页返回三、相互独立随机变量的特征函数定理4.2.3n个随机变量相互独立的充分必要条件为),,,(21nXXX的特征函数niiXntttti121)(),,,(下页上页返回niiXY1则Y的特征函数为niXYtti1)()(推论设为n个相互独立的随机变量,令nXXX,,,21niiiibXaZ1)(niiXjtbZtaetii1)()(下页上页返回例4.2.7设为n个