特征函数的概念及意义

特征函数的概念及意义目录：一．特征函数的定义。二．常用分布的特征函数。三．特征函数的应用。四．绪论。一．特征函数的定义设X是一个随机变量，称itXet,t,为X的特征函数.因为＝１Ｘite，所以itXe总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的.当离散随机变量X的分布列为,3,2,1,PpkkxXk，则X的特征函数为1kkitxpetk,t.当连续随机变量X的密度函数为xp,则X的特征函数为dxxpetkitx,t.与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数.二．常用分布的特征函数1、单点分布：.1PaX其特征函数为.etita2、10分布：,10xp1pxXPx1x，，其特征函数为qpetit，其中p1q.3、泊松分布P：ekkXPk！，k=0,1，，其特征函数为0k1eekiktititeeeeket！.4、均匀分布baU,：因为密度函数为.;,0,1其他bxaabxp所以特征函数为baiatibtitxabiteedxabex.5、标准正态分布1,0N：因为密度函数为2221xexp，x.所以特征函数为dxitxtxitxeedxex2222222121=itittttedzee22222221.其中ititxdze222.三．特征函数的应用1、在求数字特征上的应用求2N，分布的数学期望和方差.由于2N，的分布的特征函数为2ti22et,于是由kkki0得，i0i′,22″220i,由此即得222D，.我们可以看出用特征函数求正态分布的数学期望和方差,要比从定义计算方便的多.2、在求独立随机变量和的分布上的应用利用归纳法,不难把性质4推广到n个独立随机变量的场合,而n21,，，是n个相互独立的随机变量,相应的特征函数为n1iin21ttt，则，，，的特征函数为n1iitt.设n,,21jj，是n个相互独立的，且服从正态分布2Njja，的正态随机变量.试求n1jj的分布.由于j的分布为2Njja，，故相应的特征为222tiajjjet.由特征函数的性质可知njjtt1的特征函数为21212221112ttainjnjtiajnjjnjjjjeett.而这正是njjnjjaN121,的特征函数.由分布函数与特征函数的一一对应关系即知服从njjnjjaN121,.3、在证明二项分布收敛于正态分布上的应用在n重贝努力实验中，事件A每次出现的概率为p(0p1)，n为n次试验中事件A出现的次数，则dtexnpqnpPxtnn2221lim.要证明上述结论只需证明下面的结论，因为它是下面的结论一个特例.若,,21是一列独立同分布的随机变量，且,,2,1,0,22kDakk则有dtexnnaPxtnkkn21221lim.证明设ak的特征函数为,t则nkknkknanna11的特征函数为nnt又因为,,02aDakk所以20,00于是特征函数t有展开式222222112000tttttt.从而对任意的t有，nentntnttn,2122222.而22te是1,0N分布的特征函数，由连续定理可知dtexnnaPxtnkkn21221lim.成立，证毕.我们知道在n2221Plim中dtexnpqnpxtnn是服从二项分布.nkqpCkpknkknn0,.的随机变量，dtexxt2221Plim为“泊松分布收敛于正态分布”,我们把上面的结论常常称为“二项分布收敛于正态分布”.4、在求某些积分上的应用我们知道022dxexxk可以用递推法，现在我们用特征函数来解决随机变量服从21,0N，其密度函数为：21xexp，其特征函数为：0241!41122ititxitxitedxeet，故!131241!!241212ktkkktkkk，所以!!1221!!24102kkkkkk,由特征函数的性质kkkkki2!!120222，又0222dxexxkk，故122!!122kxkkdxex.即0122!!122kxkkdxex四．结论从上面的内容可以看出：特征函数并不是一个抽象概念，在概率论与数理统计的许多问题中，无论是证明还是应用，通过构造特征函数，比如在求分布的数学期望和方差；在求独立随机变量和的分布上的应用，利用独立随机变量和的特征函数为特征函数的积性质推广，往往能使问题得到简化；在证明二项分布收敛于正态分布上的应用，可以从特例到一般问题，从而使问题迎刃而解；在求某些积分上的时候，可以通过构造特征函数使问题简单.