概率论与随机过程第2章(15)讲义

2019年10月5日3时50分概率论与随机过程第二章随机信号概论随机过程的基本概念及分类随机过程的统计特性数字特征：均值函数mx(t)方差函数Dx(t)协方差函数Cxy(t1,t2)相关函数Rxy(t1,t2)特征函数Fx(u)=E{exp(jux(t))}2019年10月5日3时50分概率论与随机过程§2-1.随机过程的概念随机事件A----事件之间的关系，事件的概率pA及其关系。随机变量X----f(x),F(x）,f(x,y),fX(x),fY(y),随机变量函数的概率密度/E[X],D[X],Cov[X,Y]→随机过程（随机信号）。随机函数------随非随机（确定性）参数变化的随机变量。例如，X(u,v).e.g.时间,空间等随机过程----随时间参数t变化的随机变量。记为，X(t)。1.非随机参数对应的函数值是随机变量;2.随机过程是随机函数的特例。2019年10月5日3时50分概率论与随机过程)(txi)(1tx)(2tx)(ntx1.具体的波形不能事先预知2.但必为可能波形之一3.所有可能波形x1(t),x2(t),…..xn(t)…….的集合构成了随机过程例：测量接收机的输出噪声电压tv(t)2019年10月5日3时50分概率论与随机过程t1t)t(X样本函数)(tx3)(tx2)(tx1随机过程的两种表达式：1.xi(t)是随机试验第i次的实验结果，称为随机过程的样本函数；所有xi(t)的集合{xj(t)}构成随机过程,记为X(t)~{xj(t)}2.在ti时刻的各种可能结果的取值X(ti)，称为随机过程X(t)在ti时刻的随机变量。所有随机变量X(ti)集合{X(ti)}构成随机过程的另一表达式。即：X(t)~{X(ti)}随机变量X(ti)2019年10月5日3时50分概率论与随机过程随机过程的分类按时间和状态分类类别状态时间连续随机过程连续连续离散随机过程离散连续连续随机序列连续离散离散随机序列离散离散t1t)t(X电压噪声),t(X1t1t)t(X经过采样样本函数),t(X1)(),(33sktxtX)(),(22sktxtX)(),(11sktxtX经过判别电路,大于门限电压为“1”,小于门限电压为“0”t1t)t(X),t(X12019年10月5日3时50分概率论与随机过程按样本函数形式分类类别过去观测值与未来值的关系不确定随机过程结果不可预测（不能描述成t的函数）确定随机过程可预测（可描述成t的函数）按统计特性、分布函数、概率密度函数等分类：平稳随机过程;高斯过程;白噪声;独立随机过程马可夫链泊松过程…..2019年10月5日3时50分概率论与随机过程随机过程的一维分布函数和密度函数在ti时刻，X(ti)是一个随机变量，其分布函数记为：1111)X(t),(xPtxFX其密度函数记为：11111xtxFtxfXX),(),(在任意t1，t2时刻，{X(t1),X(t2)}的联合密度函数表示为：21212122121xxttxxFttxxfXX),,,(),,,(在任意t1,…tn时刻，{X(t1),….X(tn)}的联合密度函数表示为：nnnXnnnXxxttxxFttxxf....),...,,,...,(),....,,,...,(11111孤立时间点的分布特性比一维分布信息多2019年10月5日3时50分概率论与随机过程§2.随机过程的研究方法随机过程的特征：随机过程的研究方法：1.概率描述法：利用多维联合概率密度与分布函数的描述；2.统计平均描述法：利用数字特征：均值，方差，相关函数，高阶矩等描述。随机性(不同时刻为不同的随机变量)关联性(不同时刻的随机变量之间有波及性)2019年10月5日3时50分概率论与随机过程概率描述法（微观描述）：概率描述是从随机过程X(t)在某一个时刻ti的随机变量的概率密度开始描述，逐步延伸到某二个时刻ti，tj的随机变量X(ti),X(tj)的联合概率密度,直至随机过程X(t)在n个时刻n维随机变量的描述。),,(tt;xxpjijiX)t(Xi微观描述-----利用多维随机变量的联合概率密度和分布函数对随机过程细部特征的一种描述方法。2019年10月5日3时50分概率论与随机过程t1t)t(X经过采样)(ntX)(1tX)(2tX)(3tX显然，随着维数n的增加对随机过程的描述将渐逐地清晰。理论上当n→∞，则描述完备。然而，随着描述的深入，其复杂度将越来越高。t2t3titj2019年10月5日3时50分概率论与随机过程(2)过程X(t)为：式中a,w0为常数，F~(0,2p)上均匀分布-----随相正弦波例(1)抛硬币试验，样本空间是S={H,T}，现定义),(TH,tcostt)(Xt，出现出现tcost,t)(X)t(acos)t(X0Fw，)t(acos~),(0itXw2019年10月5日3时50分概率论与随机过程例3(2.4)抛硬币试验，样本空间是S={H,T}，现定义),(TH,2ttcost)(Xt，出现出现假设出现正面和反面的概率相同，试确定X（t)的一维分布函数FX（x；0.5）,FX（x；1）,以及FX（x1,x2;0.5,1）1f(x,1/2)(x)(x1)21f(x,1)(x+1)(x2)21F(x,1/2)(x)(x1)21F(x,1)(x+1)(x2)2UUUUX(t=1/2）01X(t=1)2-12019年10月5日3时50分概率论与随机过程2.3已知随机过程X(t)为w0是常数,X是标准高斯分布r.v.,求X（t）的一维概率密度。解1.解2)t(Xcos)t(X0w)2x(exp21p(x)2F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos(t)x}xxP{X}1()cos(t)cos(t)F221(,)(,)exp()2cos(t)cos(t)2xpxtFxtww发cos(t)0w时cos(t)0w时F(x,t)P{X(t)x}P{Xcos(t)x}xxP{X}()cos(t)cos(t)F解3,雅各比行列式的方法2019年10月5日3时50分概率论与随机过程统计平均描述法：统计平均描述法所关心的是:随机过程在某时刻或不同时刻的平均特征—均值；偏离均值的程度—方差，不同时刻随机变量之间的相关程度—相关函数，等数字特征。总之，统计平均描述法是从统计平均的意义上研究随机过程的宏观特性。2019年10月5日3时50分概率论与随机过程随机过程的数字特征：1.均值对于任意时刻t，随机过程X(t)为一随机变量。故,物理意义：表示在单位电阻上消耗的直流功率。)t(mX2)t(mdx)t,x(x)t(XEXXp考虑与r.v.的均值的不同2019年10月5日3时50分概率论与随机过程2.均方值与方差原点矩：方差：物理意义：若X(t)为随机信号，则：在单位电阻上消耗的瞬时功率的统计平均值：瞬时交流功率的统计平均值瞬时功率=瞬时交流功率+瞬时直流功率。dxtxpxtXtXX),()]([)(22222)t(m)t(XE)t(XD)t(XX)t(X2)t(X2)t(m)t()]t(x[)t(m)]t(x[)t(xXxX222222)t(m)t()t(xXX222mx(t))t(X22019年10月5日3时50分概率论与随机过程mx(t)mx(t)均值\方差相似，但过程显然差异很大2019年10月5日3时50分概率论与随机过程3.自相关函数：同一随机过程不同时刻的随机变量之间的关联性。设随机过程X(t)，则定义X(t)的自相关函数:)t()]t(X[E)t,t(Rx121211212121212121),;,()]()([),(dxdxttxxpxxtXtXEttRxxt1=t2时的自相关函数是X(t)的平均功率,即:)t(X2是t1,t2的函数2019年10月5日3时50分概率论与随机过程自协方差函数:})]t(m)t(X[)]t(m)t(X[{E)t,t(CXXX221121)t(m)t(m)t,t(RXXX212121111))(()]([),(tXEXEtXDttCXt1=t2时的自协方差是X(t)的方差,即:)t()]t(X[E)t,t(Rx1212112019年10月5日3时50分概率论与随机过程t1t27654321z1z2z3z4X(t1)1263X(t2)5421例3(2.5):一个随机过程由如图所示的四条样本函数组成,且每条样本函数出现的概率分别为:1/8,1/4,3/8,1/4,求:(1)E[X(t1)],E[X(t2)](2)E[X(t1)X(t2)]及联合概率密度函数解:821411832414815)()()(829413836412811)()()(2211iiXiiXxptxtExptxtE86341138326414281512121)x,x(p)t(x)t(x)t,t(RjijiXX(t1)X(t2)126351/8000401/4002003/8010001/4)1()3(41)2()6(83)4()2(41)5()1(81);,(112121212,121xxxxxxxxttxxp2019年10月5日3时50分概率论与随机过程例4设X(t)是一个过程,且X(t)=At(-∞t∞)A为[0，1]上均匀分布的r.v.,试求：E[X(t)],及RX（t1,t2）3ttAEttAtAtEtXtXEttR2tAtEAtEtXE21221212121X)()(),()(解(1):解（2）：性质出发2019年10月5日3时50分概率论与随机过程例5设X(t)是一个过程,且确定随机变量Z=X(5),W=X(8)的均值,方差和协方差)2.0exp(49),(2121ttttRX3)]8([)(3)]5([)(XEWEXEZE解:4)()()()(195.249)8,5()()()8,5()8,5(13)8,8()(13)5,5()(226.022ZEZEZDWDeRZEWERCovRWERZE3)]([tXE例：求随机相应正弦波的数学期望，方差，自相关函数及一维概率密度。式中，为常数，是区间[0，]上均匀分布的随机变量。0()sin()xttw0w2解：由题可知：000()[()][sin()][sincoscossin]xmtExtEtEttwww（1）0000[sincos][cossin]sin[cos]cos[sin]EtEttEtEwwww＝22001[cos]cos()cos02Efdd[sin]0E同理()0xmt（2）方差22222()()()()[()]xxxxttmttExt200011[sin()][1cos(22)][1cos(22)]22EtEtEtwww＝0011[cos(2)cos2]sin2sin2]2EtEtww＝001[1cos2[cos2]sin2[sin2]2tEtEww＝可知[sin2][cos2]0EE21()2xt020101211cos()cos()22tttt（3）自相关函数12(,)xRtt12[()()]Extxt＝1200sin()sin()]Ettww