WORD格式.可编辑技术资料.整理分享空间向量练习题1.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.(Ⅰ)证明:平面PBE⊥平面PAB;(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小.如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),33(,,0),22C13(,,0),22DP(0,0,2),3(1,,0).2E(Ⅰ)证明因为3(0,,0)2BE,平面PAB的一个法向量是0(0,1,0)n,所以0BEn和共线.从而BE⊥平面PAB.又因为BE平面PBE,故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)解易知3(1,0,2),(0,02PBBE,),13(0,0,2),(,,0)22PAAD设1111(,,)nxyz是平面PBE的一个法向量,则由110,0nPBnBE得111122020,3000.2xyzxyz所以11110,2.(2,0,1).yxzn故可取设2222(,,)nxyz是平面PAD的一个法向量,则由220,0nPAnAD得2222220020,1300.22xyzxyz所以2220,3.zxy故可取2(3,1,0).n于是,1212122315cos,.552nnnnnn故平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的大小是15arccos.5WORD格式.可编辑技术资料.整理分享2.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点。(Ⅰ)求证:AB1⊥面A1BD;(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的大小;(Ⅲ)求点C到平面A1BD的距离;(Ⅰ)证明取BC中点O,连结AO.ABC△为正三角形,AOBC⊥.在正三棱柱111ABCABC中,平面ABC⊥平面11BCCB,AD⊥平面11BCCB.取11BC中点1O,以O为原点,OB,1OO,OA的方向为xyz,,轴的正方向建立空间直角坐标系,则(100)B,,,(110)D,,,1(023)A,,,(003)A,,,1(120)B,,,1(123)AB,,,(210)BD,,,1(123)BA,,.12200ABBD,111430ABBA,1ABBD⊥,11ABBA⊥.1AB⊥平面1ABD.(Ⅱ)解设平面1AAD的法向量为()xyz,,n.(113)AD,,,1(020)AA,,.AD⊥n,1AA⊥n,100ADAA,,nn3020xyzy,,03yxz,.令1z得(301),,n为平面1AAD的一个法向量.由(Ⅰ)知1AB⊥平面1ABD,1AB为平面1ABD的法向量.cosn,1113364222ABABABnn.二面角1AADB的大小为6arccos4.xzABCD1A1C1BOFyWORD格式.可编辑技术资料.整理分享(Ⅲ)解由(Ⅱ),1AB为平面1ABD法向量,1(200)(123)BCAB,,,,,.点C到平面1ABD的距离1122222BCABdAB.3.如图,在四面体ABCD中,O、E分别是BD、BC的中点,2,2.CACBCDBDABAD(1)求证:AO平面BCD;(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值;(3)求点E到平面ACD的距离.⑴证明连结OC,,.BODOABADAOBD,BODOBCCD,COBD.在AOC中,由已知可得1,3.AOCO而2AC,222,AOCOAC90,oAOC即.AOOC,BDOCO∴AO平面BCD.(2)解以O为原点,如图建立空间直角坐标系,则(1,0,0),(1,0,0),BD13(0,3,0),(0,0,1),(,,0),(1,0,1),(1,3,0).22CAEBACD2cos,4BACDBACDBACD,∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为24.⑶解设平面ACD的法向量为(,,),nxyz则ACDOBEyzxACDOBEyzxWORD格式.可编辑技术资料.整理分享(,,)(1,0,1)0(,,)(0,3,1)0nADxyznACxyz,∴030xzyz,令1,y得(3,1,3)n是平面ACD的一个法向量.又13(,,0),22EC∴点E到平面ACD的距离32177ECnhn.4.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.(Ⅰ)证明:CM⊥SN;(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.证明:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,12),N(12,0,0),S(1,12,0).……4分(Ⅰ)111(1,1,),(,,0)222CMSN,因为110022CMSN,所以CM⊥SN……6分(Ⅱ)1(,1,0)2NC,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,WORD格式.可编辑技术资料.整理分享EOGFA1B1C1CBA则10,2210.2xyzxxy令,得a=(2,1,-2).……9分因为1122cos,2232aSN所以SN与片面CMN所成角为45°。……12分5.如图,在三棱柱111ABCABC中,已知11,2,BCBB13BCC学,,,,,网,AB侧面11BBCC,(1)求直线C1B与底面ABC所成角正切值;(2)在棱1CC(不包含端点1,)CC上确定一点E的位置,使得1EAEB(要求说明理由).(3)在(2)的条件下,若2AB,求二面角11AEBA的大小.解:(1)在直三棱柱111ABCABC中,1CCABC平面1CB在平面ABC上的射影为CB.1CBC为直线1CB与底面ABC所成角.…………2112,1CCBBBC,1tan2CBC即直线1CB与底面ABC所成角正切值为2.…………4(2)当E为中点时,1EAEB.1111,1CEECBCBC1145BECBEC190BEB,即1BEBE…………6又11ABBBCC平面,111EBBBCC平面1ABEBWORD格式.可编辑技术资料.整理分享BEABB1EBABE平面,ABEEA平面,1EAEB…………8(3)取1EB的中点G,1AE的中点F,则FG∥11AB,且1112FGAB,1111ABEBFGEB连结11,ABAB,设11ABABO,连结,,OFOGFG,则OG∥AE,且12OGAE11AEEBOGEBOGF为二面角11AEBA的平面角.…………1011112121,,22222OGAEFGABOFBE,45OGF∴二面角11AEBA的大小为45°…………12