、函数定义域、值域求法总结

函数定义域、值域求法总结一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1）分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)0x中x0二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。三、典例解析1、定义域问题例1求下列函数的定义域：①21)(xxf；②23)(xxf；③xxxf211)(解：①∵x-2=0，即x=2时，分式21x无意义，而2x时，分式21x有意义，∴这个函数的定义域是2|xx.②∵3x+20，即x-32时，根式23x无意义，而023x，即32x时，根式23x才有意义，∴这个函数的定义域是{x|32x}.③∵当0201xx且，即1x且2x时，根式1x和分式x21同时有意义，∴这个函数的定义域是{x|1x且2x}另解：要使函数有意义，必须：0201xx21xx例2求下列函数的定义域：①14)(2xxf②2143)(2xxxxf③)(xfx11111④xxxxf0)1()(⑤373132xxy解：①要使函数有意义，必须：142x即：33x∴函数14)(2xxf的定义域为：[3,3]②要使函数有意义，必须：13140210432xxxxxxx且或4133xxx或或∴定义域为：{x|4133xxx或或}③要使函数有意义，必须：011110110xxx2110xxx∴函数的定义域为：}21,1,0|{xRxx且④要使函数有意义，必须：001xxx01xx∴定义域为：011|xxx或⑤要使函数有意义，必须：073032xx37xRx即x37或x37∴定义域为：}37|{xx例3若函数aaxaxy12的定义域是R，求实数a的取值范围奎屯王新敞新疆解：∵定义域是R,∴恒成立，012aaxax∴2001402aaaaa等价于例4若函数)(xfy的定义域为[1，1]，求函数)41(xfy)41(xf的定义域奎屯王新敞新疆解：要使函数有意义，必须：43434543434514111411xxxxx∴函数)41(xfy)41(xf的定义域为：4343|xx例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。答案：－1≤x2≤1x2≤1－1≤x≤1练习：设)(xf的定义域是[3，2]，求函数)2(xf的定义域奎屯王新敞新疆解：要使函数有意义，必须：223x得：221x∵x≥0∴220x2460x∴函数)2(xf的定域义为：2460|xx例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。2,25）（提示：定义域是自变量x的取值范围）练习：已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若yfx的定义域是0,2，则函数121fxfx的定义域是（）Ａ．1,1Ｂ21,21Ｃ．1,21Ｄ．10,2已知函数11xfxx的定义域为Ａ，函数yffx的定义域为Ｂ，则（）Ａ．ABBＢ．BAＣ．ABBＤ．AB2、求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②）（3x1x32)(xf③xxy1（记住图像）解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5]②略③当x0，∴xxy1=2)1(2xx2，当x0时，)1(xxy=－2)1(2xx2奎屯王新敞新疆∴值域是]2,([2，+).（此法也称为配方法）函数xxy1的图像为：二次函数在区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①142xxy；②；]4,3[,142xxxy③]1,0[,142xxxy；④]5,0[,142xxxy；解：∵3)2(1422xxxy，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y-3}.②∵顶点横坐标2[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上，miny=-2，maxy=1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2[0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3,x=5时，y=6,∴在[0,1]上，miny=-3，maxy=6；值域为[-3，6].注：对于二次函数)0()(2acbxaxxf,⑴若定义域为R时，①当a0时，则当abx2时，其最小值abacy4)4(2min；②当a0时，则当abx2时，其最大值abacy4)4(2max.⑵若定义域为x[a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若0x[a,b],则)(0xf是函数的最小值（a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值.②若0x[a,b],则[a,b]是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.4321-1-2-3-4-6-4-2246y=xo-2-112fx=x+1x321-1-2-3654321-1-2xOy练习：1、求函数y=3+√(2－3x)的值域解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，故3+√(2－3x)≥3。∴函数的值域为,3.2、求函数5,0,522xxxy的值域解：对称轴5,01x20,420,54,1maxmin值域为时时yxyx例3求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。解：法一：（单调性法）设f(x)=4x,g(x)=－√1-3x,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)=4x－√1-3x在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。小结：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3+√4-x的值域。(答案：｛y|y≥3｝)法二：换元法(下题讲)例4求函数xxy12的值域解：（换元法）设tx1，则)0(122ttty2,21,01max值域为，时当且开口向下，对称轴ytt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=√x-1–x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝例5（选）求函数xxy53的值域解：（平方法）函数定义域为：5,3x2,24,21,0158,5,31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy例6（选不要求）求函数21xxy的值域解：（三角换元法）11x设,0cosx2,12,1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结：（1）若题目中含有1a，则可设)0,cos(22,sinaa或设（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中22（5）若题目中含有)0,0,0(ryxryx，则可设22sin,cosryrx其中2,0例7求13xxy的值域解法一：（图象法）可化为3,431,221,4xxxxy如图，观察得值域44yy解法二：（零点法）画数轴利用在数轴上的距离表示实数baba,可得。-103-10134-4xy解法三：（选）（不等式法）414114)1(134)1()3(13xxxxxxxxxx同样可得值域练习：1yxx的值域呢？（,1）（三种方法均可）例8求函数)1,0(239xyxx的值域解：（换元法）设tx3，则31t原函数可化为8,28,3;2,13,121,2maxmin2值域为时时对称轴ytytttty例9求函数xxy2231的值域解：（换元法）令1)1(222xxxt，则)1(31tyt由指数函数的单调性知，原函数的值域为,31例10求函数)0(2xyx的值域解：（图象法）如图，值域为1,0例11求函数21xxy的值域解法一：（逆求法）1121,yyyyxx原函数值域为观察得解出解法二：（分离常数法）由1231232xxxy，可得值域1yy小结：已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求）内，值域为cayy；如果是条件定义域（对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为