与圆有关的定点、定值、最值与范围问题

抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考第6讲与圆有关的定点、定值、最值与范围问题抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考点梳理1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)相离相切相交图形量化方程观点Δ___0Δ___0Δ___0几何观点d___rd___rd___r＜＝＞＞＝＜抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2.圆与圆的位置关系(圆O1、圆O2半径r1、r1，d＝O1O2)相离外切相交内切内含图形量化几何观点d＞______d＝______|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝______d＜______方程观点Δ___0Δ___0Δ___0Δ___0Δ___0r1＋r2r1＋r2|r1－r2||r1－r2|＜＝＞＝＜抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【助学·微博】一个考情分析与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值问题、最值与范围问题．解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解或计算求得．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为________________．考点自测解析即求两圆公共弦为直径的圆的方程．两圆的公共弦所在直线的方程l：x－2y＋4＝0.圆C1的半径r1＝52，圆心(1，－5)到l的距离．d＝|1＋10＋4|5＝35，则公共弦长为l＝2r21－d2＝250－45＝25，连心线的方程l1：2x＋y＋3＝0，与l的交点为(－2,1)．答案(x＋2)2＋(y－1)2＝5抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考2．若直线y＝x＋b与曲线y＝1－x2有两个公共点，则b的取值范围是________．解析如图，当直线介于l1与l2之间时满足题意，即圆心到直线y＝x＋b的距离22≤|b|2＜1，解得1≤b＜2.答案[1，2)抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．解析由题意知，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a＋2b＝2，即a＋b＝1≥2ab，所以ab≤14.答案－∞，14抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考4．(2012·盐城模拟)与直线x＝3相切，且与圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1相内切的半径最小的圆的方程为________．解析要使圆的半径最小，则所求圆的圆心为12，－1，此时r＝3－－22＝52，故所求圆的方程为x－122＋(y＋1)2＝254.答案x－122＋(y＋1)2＝254抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考5．(2013·连云港模拟)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上一点的最短路程是________．解析因为点A(－1,1)关于x轴的对称点为B(－1，－1)，圆心为(2,3)，所以从点A(－1,1)出发经x轴反射，到达圆C上一点的最短路程为－1－22＋－1－32－1＝4.答案4抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考考向一与圆有关的定点问题【例1】已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．(1)若|AB|＝423，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；(2)求证：直线AB恒过定点．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(1)解设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝232，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝12－89＝13，又∵|MQ|＝|MA|2|MP|，∴|MQ|＝3.设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x＝±5，则Q点的坐标为(5，0)或(－5，0)．从而直线MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)证明设点Q(q,0)，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点0，32.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]与圆有关的定点问题最终可化为含有参数的动直线或动圆过定点．解这类问题关键是引入参数求出动直线或动圆的方程．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练1】已知圆x2＋y2＝1与x轴交于A、B两点，P是该圆上任意一点，AP、PB的延长线分别交直线l：x＝2于M、N两点．(1)求MN的最小值；(2)求证：以MN为直径的圆恒过定点，并求出该定点的坐标．(1)解设M(2，t1)，N(2，t2)，则由A(－1,0)，B(1,0)，且AM⊥BN，得AM→·BN→＝0，即(3，t1)·(1，t2)＝0，所以3＋t1t2＝0，即t1t2＝－3.所以MN＝t1－t2＝t1＋(－t2)≥2－t1t2＝23.当且仅当t1＝3，t2＝－3时等号成立．故MN的最小值为23.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)证明由(1)得t1t2＝－3.以MN为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－t1)(y－t2)＝0，即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y＋t1t2＝0，也即(x－2)2＋y2－(t1＋t2)y－3＝0.由y＝0，x－22－3＝0，得x＝2＋3，y＝0或x＝2－3，y＝0.故以MN为直径的圆恒过定点(2＋3，0)和(2－3，0)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【例2】(2013·扬州调研)已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；考向二与圆有关的定值问题(2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0.因为直线与圆相切，所以|－b|22＋12＝3，得b＝±35.所以所求直线方程为y＝－2x±35.(2)法一假设存在这样的点B(t,0)．当点P为圆C与x轴的左交点(－3,0)时，PBPA＝|t＋3|2；抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考当点P为圆C与x轴的右交点(3,0)时，PBPA＝|t－3|8.依题意，|t＋3|2＝|t－3|8，解得t＝－5(舍去)或t＝－95.下面证明点B－95，0对于圆C上任一点P，都有PBPA为一常数．设P(x，y)，则y2＝9－x2，所以PB2PA2＝x＋952＋y2x＋52＋y2＝x2＋185x＋9－x2＋8125x2＋10x＋25＋9－x2＝1825·5x＋172·5x＋17＝925.从而PBPA＝35为常数．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考法二假设存在这样的点B(t,0)，使得PBPA为常数λ，则PB2＝λ2PA2，所以(x－t)2＋y2＝λ2[(x＋5)2＋y2]，将y2＝9－x2代入，得x2－2xt＋t2＋9－x2＝λ2(x2＋10x＋25＋9－x2)，即2·(5λ2＋t)x＋34λ2－t2－9＝0对x∈[－3,3]恒成立，所以5λ2＋t＝0，34λ2－t2－9＝0.解得λ＝35，t＝－95或λ＝1，t＝－5(舍去)．故存在点B－95，0对于圆C上任一点P，都有PBPA为常数35.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]解与圆有关的定值问题，可以通过直接计算或证明，还可以通过特殊化，先猜出定值再给出证明．这里是采用的另外一种方法，即先设出定值，再通过比较系数法求得．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练2】(2012·徐州市调研(一))在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆所得弦长为6.(1)求圆O的方程；(2)若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于点D、E，当DE长最小时，求直线l的方程；(3)设M、P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)因为O到直线x－y＋1＝0的距离为12，所以圆O的半径r＝122＋622＝2，故圆O的方程为x2＋y2＝2.(2)设直线l的方程为xa＋yb＝1(a0，b0)，即bx＋ay－ab＝0.由直线l与圆O相切，得|ab|a2＋b2＝2，即1a2＋1b2＝12.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)1a2＋1b2＝22＋b2a2＋b2a2≥22＋2b2a2·a2b2＝8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.(3)设M(x1，y1)，P(x2，y2)，则N(x1，－y1)，x21＋y21＝2，x22＋y22＝2.直线MP与x轴交点为x1y2－x2y1y2－y1，0，即m＝x1y2－x2y1y2－y1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考直线NP与x轴交点为x1y2＋x2y1y2＋y1，0，即n＝x1y2＋x2y1y2＋y1.所以mn＝x1y2－x2y1y2－y1·x1y2－x2y1y2＋y1＝x21y22－x22y21y22－y21＝2－y21y22－2－y22y21y22－y21＝2y22－y21y22－y21＝2，故mn＝2为定值．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【例3】(2012·扬州中学质检(三))已知⊙C：x2＋(y－1)2＝1和直线l：y＝－1，由⊙C外一点P(a，b)向⊙C引切线PQ，切点为Q，且满足PQ等于P到直线l的距离．考向三与圆有关的最值与范围问题(1)求实数a，b满足的关系式；(2)设M为⊙C上一点，求线段PM长的最小值；(3)当P在x轴上时，在l上求一点R，使得|CR－PR|最大．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考解(1)过P作PH⊥l于H，则由题意可得PQ＝PC2－1，PH＝|b＋1|.因为PQ＝PH，所以a2＋b－12－1＝|b＋1|，即a2＋(b－1)2－1＝(b＋1)2，整理，得a，b满足的关系式是a2＝4b＋1.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(2)由平面几何可知，当PC最小时线段PC与⊙C交于M，此时PM的值最小．因为PC＝a2＋b－12＝4b＋1＋b－12＝b2＋2b＋2＝b＋12＋1，且b＝14a2－14≥－14，所以当b＝－14时，PCmin＝54，此时PMmin＝PCmin－1＝14.抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考(3)因为a2＝4b＋1，令b＝0，得a＝±1.由题意知P1(1,0)，P2(－1,0)．由平面几何可知，当R为直线CP与直线l的交点时，|CR－PR|取最大值．因为直线CP1方程为y＝－x＋1，直线CP2方程为y＝x＋1.所以由y＝－x＋1，y＝－1，解得x＝2，y＝－1.由y＝x＋1，y＝－1，解得x＝－2，y＝－1.故当点P的坐标为(1,0)时，点R的坐标为(2，－1)；当点P的坐标为(－1,0)时，点R的坐标为(－2，－1)．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考[方法总结]解与圆有关的最值与范围问题，可以通过建立目标函数求得，还可以用基本不等式和圆的几何意义求解．抓住2个考点突破3个考向揭秘3年高考【训练3】(2012·南通、泰州、扬州三市调研(二))若动点P在直线l1：x－y－2＝0上，动点Q在直线l2：x－y－6＝0上，设线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0－2)2＋(y0＋2)2≤8，则x20＋y20的取值范围是________