第二章-线性连续系统的数学模型

实际系统物理模型数学模型方法（系统组成分析、设计）☆自动控制是一门技术学科，从方法论的角度来研究系统的建立、分析与设计。研究控制系统的共性问题——提供了研究思想与研究方法课程特点第二章线性连续系统的数学模型§2.1系统动态微分方程的列写§2.2传递函数§2.3动态结构图的绘制及化简§2.4信号流程图及梅逊公式§2.5系统的传递函数及典型环节描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程。线性系统的定义系统可以用线性微分方程来描述（否则为非线性系统）建立数学模型的方法：解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。数学模型的定义数学模型的形式☆时间域：微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）状态方程（连续、离散）☆复数域：传递函数结构图☆频率域：频率特性dtdyty;)(;)(TkTykTy)()(;2121kTxkTxxx例：电气系统三元件1.在时域的表达u(t)i(t)R电阻)()(tRituu(t)i(t)C电容dttiCtu)(1)(u(t)i(t)L电感dttdiLtu)()(2.在复域的表达（拉氏变换以后的表达形式）结构图传递函数)()()()(sLsIsUdttdiLtuLssIsUsG)()()()(sU)(sILs3.在频域的表达频率特性幅频特性相频特性)(90)()(jjeAeLjGLsGA)()(90LssIsUsG)()()(js代入jLjG)(§1.1动态微分方程的编写一、绘制工作原理框图二、列写出每个方框的数学表达三、线性方程组的标准化四、消去中间变量得数学模型θrθc电压放大Kv功率放大KwM减速器ωθc+__+Eif负载ABA：输入电位器B：联结在输出轴上的检测电位器ueutuau2u1例1：角位置跟踪系统（随动系统）一、绘制工作原理框图θrθc电压放大Kv功率放大KwM减速器ωθc+__+Eif负载ABA：输入电位器B：联结在输出轴上的检测电位器ueutuau2u1分析工作原理θr1u)(21uuuetuauθc2u直至ue=0负载转角不再变化，即θr=θcθrθc电压放大Kv功率放大KwM减速器ωθc+_euau_+Eiftu负载1u2uAB工作原理框图电位器桥θcθreu电压放大器tu功率放大器au电动机传动机构负载θc二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列写出每个方框的数学表达1.电位器桥θr_+E1uA_+ELx1urEumax1xLEu1θrθc_+E1u2uAB_+EL1u1111xKxLEu2u2222xKxLEu如果KKK21)(2121xxKuuuerrKEu1max1如果KKK21)(21creKuuuccKEu1max2eux2x12.电压放大器电压放大KveutueVtuKu3.功率放大器功率放大KwtuautwauKu4.电枢控制直流伺服电动机Mωifau+_auaiaLaRωmMifbE+_当电枢运动时电枢绕组中有反电势产生电枢绕组的电势平衡方程电枢电流与磁场相互作用而产生电磁转矩电机转矩平衡方程baaaaaEdtdiLiRuammiCMdtdfdtdJfdtdJMmmmmmmm22dtdKEmbb5.机械传动机构J1，f1J2，f2Z11mM21M2MJ，f1mM2Z1Z212Z2F2F12r1r222111222111;rMFFrMrvvriZZrr121221iZZrrMM1212121两齿轮啮合点：线速度相等v1=v2；圆周力相等F1=F2i称为速比；因此，速比i为轴1和轴2之间互相折算的算子，齿轮系速比越大，负载的转动惯量和粘性摩擦系数折算到电机轴上的等效值就越小。齿轮齿条传动机构齿轮传动机构22132121221321211111iififffiiJiJJJ多级齿轮系折算公式角位置跟踪系统（随动系统）的线性方程组)(21creKuuueVtuKutwauKubaaaaaEdtdiLiRuammiCMdtdfdtdJfdtdJMmmmmmmm22dtdKEmbbiZZrr121221三、线性方程组的标准化)(21creKuuueVtuKutwauKubaaaaaEuiRdtdiLammiCMmmmmmMdtdfdtdJ22dtdKEmbbmci1输出量表达式=输入量表达式（降幂排列）四、消去中间变量得数学模型例2：电阻、电容、电感串联网络RLCucuiuuRidtdiLc1.列写方程组2.标准化cuuRidtdiLidtduCc3.消去中间变量uudtduRCdtudLCccc22系统的数学模型dtduCic或idtCuc1输入输出输出响应曲线c(t)r(t)r(t)t0c(t)RLCucui示波器或记录仪信号发生器[实验]小结：动态微分方程的编写方法一、绘制工作原理框图二、按照控制信号的传递方向（从左到右）列写出每个方框的数学表达三、线性方程组的标准化四、消去中间变量得数学模型§1.2传递函数一、传递函数的定义二、传递函数的意义一、传递函数的定义)()()()()()()()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtyadttdyadttydadttydammmmmmnnnnnn控制系统的微分方程式（上面得到的数学模型）初始条件为零情况下，对等式两边进行拉氏变换，得)()()()()()()()(01110111sRbssRbsRsbsRsbsYassYasYsasYsammmmnnnn)(ty)(sYnndtd11nsdts1)()()()(01110111sRbsbsbsbsYasasasammmmnnnn写成：（输出量）=（系统函数)(输入量）)()(01110111sRasasasabsbsbsbsYnnnnmmmm01110111)()()(asasasabsbsbsbsRsYsGnnnnmmmm传递函数定义（零初始条件下）输入的拉氏变换输出的拉氏变换传递函数输出量输入量图形表达——结构图所以，s域的系统数学模型表示为)()()(sRsGsY)(SG)(sR)(sY或01110111asasasabsbsbsbnnnnmmmm)(sR)(sY传递函数的定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与系统输入量拉氏变换之比。R(s)Y(s)G(s)=★传递函数是通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性，即以系统外部的输入—输出特性来描述系统的内部特点。若输入给定，系统的输出特性完全由传递函数G(S）决定。二、传递函数的意义输入输出G(S)R(S)Y(S)r(t)y(t)u(t)i(t)Cu(t)i(t)Lu(t)t)()()(sRsGsY)(SG)(sR)(sY例：电气元件输入相同信号u(t)输出信号i(t)i(t)t?i(t)tCssG)(i(t)ti(t)t?sLsG1)(系统的固有特性决定了输入—输出关系输入—输出关系描述了系统的固有特性②传递函数是复变量s的有理真分式。由于系统都具有惯性并且能源又是有限的缘故，必然n≥m；传递函数的各项系数均为实数，是因为各项系数都是由系统元件参数决定的，而元件参数只能是实数。③传递函数只取决于系统结构和元件参数，与外作用无关。①传递函数是在初始条件为零情况下定义的。有两个含义，一是在之前系统的系统的输入量及其各阶导数的值均为零；二是输入作用加入系统之前，系统是相对静止的，在之前系统输出量及其各阶导数也为零。0t0t说明：G(s)+G(s))()()(21sYsYsYR1(s)R2(s)Y1(s)Y2(s)④传递函数是由线性定常微分方程的拉氏变换得来的，所以它遵循线性系统的叠加性和齐次性。★叠加性G(s)R1(s)+R2(s)Y(s)0trG(s)0r10r2ttG(s)G(s)y1y221rrr21yyyG(s)KR1(s)Y(s)★齐次性G(s)R1(s)Y1(s)Y(s)=KY1(s)§1.3系统动态结构图的绘制一、动态结构图的组成与绘制二、结构图的等效变换和化简方法_)(sU)(sUCRLs1)(sICs1)(sUCRLCucuicuuRidtdiLidtduCc原理图结构图动态微分方程一、动态结构图的组成与绘制定义：结构图是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，是系统图解形式的动态数学模型。G(s)+_RCCB信号线组成：相加点方框分支点X(s)信号线+_信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，线上标记信号的时间函数或象函数；函数的符号标记在箭头旁，正号可以省略。所以，信号线代表一个有大小、符号、量纲、方向的变量。+_RB相加点+_C=±R±BC相加点（求和点、比较点、综合点）：对两个以上的信号进行加减运算，“+”号表示相加，“-”号表示相减；有时“+”可以省略。G(s)方框R(s)C(s)方框：对信号进行数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数。显然，方框的输出量等于方框的输入量与传递函数之积，即C(s）=G(s）R(s）C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)C(s)分支点分支点（引出点、测量点）：表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号，在数值和性质方面完全一样。即引用同一变量。RLCucui[例1]cuuRidtdiLidtduCc对该方程组进行拉氏变换并标准化：输出变量=f(输入变量）cuuRidtdiL)()()()(sUsUsRIsLsIc))()((1)(sUsURLssIcidtduCc)()(sIsCsUc)(1)(sICssUc画出各环节的结构图_)(sU)(sUCRLs1)(sI))()((1)(sUsURLssIcCs1)(sI)(sUC)(1)(sICssUc联结各环节的结构图——系统结构图_)(sU)(sUCRLs1)(sICs1)(sUC[例2]角位置跟踪系统（随动系统）)(21creKuuueVtuKutwauKubaaaaaEuiRdtdiLammiCMmmmmmMdtdfdtdJ22mci1)()()(1)()(1)()()())()((1)()()()()())()(()(2ssKsEsissMsfsJssICsMsEsURsLsIsUKsUsUKsUssKsUmbbmcmmmmammbaaaatWaeVtcredtdKEmbb_)(sr)(scK)(sUeVK)(sUe)(sUtWK)(sUa)(sUt_)(sEbaaRsL1)(sIa)(sUa画出各环节的结构图))()(()(ssKsUcre)()(sUKsUeVt)()(sUKsUtWa))()((1)(sEsURsLsIbaaaamC)(sMm)(sIa)(sMmsfsJmm21)(smi1)(sc)(sm)(sEbsKb)(sm)()(sICsMamm)(1)(2sMsfsJsmmmm)(1)(sismc)()(ssKsEmbb)(sUe_)(sr)(scKVK)(sUtWK)(sUa_)(sEbaaRsL1)(sIamC)(sMmsfsJmm21)(sm