高考专题数形结合思想练习作业

专题集训·作业(二)一、选择题1．(2014·安徽)若过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A.0，π6B.0，π3C.0，π6D.0，π3答案D解析利用数形结合思想及圆的几何性质求解．方法一如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，则sinα＝12，所以α＝30°，∠BPA＝60°.故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.故选D.方法二设过点P的直线方程为y＝k(x＋3)－1，则由直线和圆有公共点知|3k－1|1＋k2≤1.解得0≤k≤3.故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.2．(2014·安徽)已知x，y满足约束条件x＋y－2≤0，x－2y－2≤0，2x－y＋2≥0.若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.12或－1B．2或12C．2或1D．2或－1答案D解析作出约束条件满足的可行域，根据z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，通过数形结合分析求解．如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1.3．(2014·贵阳监测)已知f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图像是()答案A解析∵f′(x)＝12x－sinx，∴f′(x)为奇函数，排除B，D.又当x＝－π4时，f′(x)＝22－π8＝42－π80，排除C，故选A.4．(2013·江西)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()A．2∶5B．1∶2C．1∶5D．1∶3答案C解析根据抛物的定义和相似三角形的判定及性质求解．如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，所以|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|.由于△MHN∽△FOA，则|MH||HN|＝|OF||OA|＝12，则|MH|∶|MN|＝1∶5.即|MF|∶|MN|＝1∶5.5．若f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是()A．(－12，14)B．(－14，12)C．(14，12)D．[14，12]答案C解析由选项知m2，开口向下．如图，则有f－10，f00，f10，f20，解得14m12，故选C.6．(2013·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)f(1)，则()A．a0,4a＋b＝0B．a0,4a＋b＝0C．a0,2a＋b＝0D．a0,2a＋b＝0答案A解析根据条件可确定函数图像的开口方向和对称轴，化简即得．因为f(0)＝f(4)f(1)，所以函数图像应开口向上，即a0，且其对称轴为x＝2，即－b2a＝2，所以4a＋b＝0，故选A.7．(2014·大连双基测试)已知函数f(x)＝1ex－2x－1(其中e为自然对数的底数)，则y＝f(x)的图像大致为()答案C解析记g(x)＝ex－2x－1，则有g′(x)＝ex－2，当xln2时，g′(x)＝ex－20，g(x)是减函数；当xln2时，g′(x)＝ex－20，g(x)是增函数．因此，当x0时，g(x)＝ex－2x－1是减函数，且g(x)g(0)＝0，此时f(x)＝1gx0，且f(x)是增函数；当0xln2时，g(x)＝ex－2x－1是减函数，g(x)0，此时f(x)＝1gx0，且f(x)是增函数，对比各选项知，选C.8．(2014·新课标全国Ⅱ)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13答案C解析由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4cm，底面半径为2cm，右面圆柱的高为2cm，底面半径为3cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为54π－34π54π＝1027.9．设x，y满足约束条件x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为()A．80B．45C．25D.172答案A解析作出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3表示的平面区域，如右图阴影部分所示．(x＋1)2＋y2可看作点(x，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知可行域内的点A到点P(－1,0)的距离最大．解方程组x＝3，x－y＋5＝0，得A点的坐标为(3,8)，代入z＝(x＋1)2＋y2，得zmax＝(3＋1)2＋82＝80.10．(2014·衡水模拟)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为()A.2－1B．1C.2D．2答案B解析设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，因为|a|＝|b|＝|c|＝1，所以点A，B，C在以O为圆心，1为半径的圆上．易知CA→＝a－c，CB→＝b－c，|c|＝|OC→|.由(a－c)·(b－c)≤0，可知CA→·CB→≤0，则π2≤∠BCAπ(因为A，B，C在以O为圆心的圆上，所以A，B，C三点不能共线，即∠BCA≠π)，故点C在劣弧AB上．由a·b＝0，得OA→⊥OB→.设OD→＝a＋b，如右图所示，因为a＋b－c＝OD→－OC→＝CD→，所以|a＋b－c|＝|CD→|，即|a＋b－c|为点D与劣弧AB上一点C的距离，显然，当点C与A或B点重合时，CD最长且为1，即|a＋b－c|的最大值为1.11．若点P(x，y)在直线x＋y＝12上运动，则x2＋1＋y2＋16的最小值为()A.37＋213B.2＋137C．13D．1＋410答案C解析x2＋1＋y2＋16＝x－02＋0＋12＋x－122＋0－42表示点(x,0)到点A(0，－1)与点B(12,4)的距离之和，最小值|AB|＝13.12．(2014·安徽)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a·b＝0，点Q满足OQ→＝2(a＋b)．曲线C＝{P|OP→＝acosθ＋bsinθ，0≤θ2π}，区域Ω＝{P|0r≤|PQ→|≤R，rR}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A．1rR3B．1r3≤RC．r≤1R3D．1r3R答案A解析根据向量数量积的运算性质，求出曲线C的轨迹，动点Q满足的条件，根据区域Ω上点的特征为以点Q为圆心，半径分别为r和R的圆环，数形结合求解．∵|a|＝|b|＝1，a·b＝0，又∵OQ→＝2(a＋b)，∴|OQ→|2＝2|a＋b|2＝2(a2＋b2＋2a·b)＝4，∴点Q在以原点为圆心，半径为2的圆上．又OP→＝acosθ＋bsinθ，∴|OP→|2＝a2cos2θ＋b2sin2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.∴曲线C为单位圆．又∵Ω＝{P|0r≤|PQ→|≤R，rR}，要使C∩Ω为两段分离的曲线，如图，可知1rR3，其中图中两段分离的曲线是指AB︵与CD︵.故选A.二、填空题13.(2014·大纲全国)直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线，若l1与l2的交点为(1,3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．答案43解析利用两点间距离公式及直角三角形求△AOB各边，进而利用二倍角公式求夹角的正切值．如图，|OA|＝12＋32＝10.∵半径为2，∴|AB|＝|OA|2－|OB|2＝10－2＝22.∴tan∠OAB＝OBAB＝222＝12.∴所求夹角的正切值为tan∠CAB＝2tan∠OAB1－tan2∠OAB＝2×121－14＝43.14.如图，半径为2的半球，一个侧棱长为1的正三棱柱的三个顶点在半球的底面上，另三个顶点在半球的球面上，则该三棱柱的外接球表面积为________．答案13π解析设题中的三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是r，其外接球半径是R，则由题中的球心到上底面的三个顶点的距离均等于该球的半径得知，该球的球心在上底面上的射影是上底面的中心，因此有r＝22－12＝3；该三棱柱的外接球球心应是其上、下底面中心连线的中点，因此有R2＝(12)2＋r2＝(12)2＋(3)2＝134，该三棱柱的外接球的表面积等于4πR2＝13π.15.(2014·山西四校联考)已知f(x)＝e－xx≤0，xx0，g(x)＝f(x)－12x－b有且仅有一个零点时，b的取值范围是________．答案b≥1或b＝12或b≤0解析要使函数g(x)＝f(x)－x2－b有且仅有一个零点，只需要函数f(x)的图像与函数y＝x2＋b的图像有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图像并观察得，要符合题意，须满足b≥1或b＝12或b≤0.16．已知直线y＝x－2与圆x2＋y2－4x＋3＝0及抛物线y2＝8x的四个交点从上面依次为A，B，C，D四点，则|AB|＋|CD|＝________.答案14解析如图所示，圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝1，抛物线的焦点F(2,0)，准线x＝－2.由y＝x－2，y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，设直线与抛物线交于A(xA，yA)，D(xD，yD)，则xA＋xD＝12.|AB|＋|CD|＝(|AF|－|BF|)＋(|DF|－|CF|)＝(|AF－1|)＋(|DF|－1)＝|AF|＋|DF|－2，由抛物线的定义，得|AF|＝xA＋2，|DF|＝xD＋2，故|AB|＋|CD|＝(|AF|＋|DF|)－2＝xA＋xD＋2＝14.三、解答题17．(2013·新课标全国Ⅰ)选修4－5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)当a－1时，且当x∈[－a2，12)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解析(1)当a＝－2时，不等式f(x)g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－30.设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，则y＝－5x，x12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x1.其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是{x|0x2}．(2)当x∈[－a2，12)时，f(x)＝1＋a.不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.所以x≥a－2对x∈[－a2，12)都成立．故－a2≥a－2，即a≤43.从而a的取值范围是(－1，43]．18.如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2m，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解析以A为坐标原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，则设边缘线OC的方程为y＝ax2＋1(0≤x2)．∵C点坐标为(2,2)，∴4a＋1＝2，a＝14.∴y＝14x2＋1(0≤x≤2)．要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在原直线必与边缘线OC相切，设切点P(t，14t2＋1)(0t2)．∵y′＝12x，∴EF：y－14t2－1＝12t(x－t)，即EF：y＝12tx－14t2＋1.由此可求得E(2，t－14t2＋1)，F(0，－14t2＋1)，∴|AF|＝1－14t2，|BE|＝－14t2＋t＋1.设梯形ABEF的面积为S(t)，则S(t)＝12|AB|·(|