比例线段的复习课

1.成比例的项：叫做成比例的项。那么或若,::cbaddcbadcba==,,,其中：线段a、d叫做比例外项，线段b、c叫做比例内项，若四条线段a、b、c、d中，如果（或a：b=c：d），那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例的线段，简称比例线段.acbd=比例的性质：bcaddcba==;2.比例中项：.____)32(,)32(.____3232比例中项是的两线段两数的比例中项是，cmcm1cm1当两个比例内项相等时，即abbc=，(或a：b=b：c)，那么线段b叫做线段a和c的比例中项.2acb=即：3.黄金分割：线段黄金分割。把这条）的比例中项，就叫做）与较短线段（原线段（）是中较长线段（）分成两条线段，使其把一条线段（BCABACABABACBCABAC215,2==即：ACB.____,152==ABACABC则段的黄金分割点，较长线是线段461.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=精心填一填，你准行﹗23212.设2a-3b=0，则=,=babba33163.若4是x和的比例中项，则x=32、下列各组线段的长度成比例的是（）A.2,3,4,1B.1.5,2.5,6.5,4.5C.1.1,2.2,3.3,4.4D.1,2,2,4D【例1】如果2x3y4z==≠0，那么zyxzyx的值是()A.7B.8C.9D.10C【例2】已知三个数1，,,26请你再添上一个(只填一个)数，使它们能构成一个比例式，则这个数是【解析】这是一道开放型考题，旨在考查学生的发散思维能力，由于题中没有明确这四个数的顺序，因此所添的数有很大的灵活性，根据比例的基本性质：设这个数为x则有33x2x63x6x23262x＝＝或＝＝或==,4、已知1)x：(x+1)=(1—x)：3，求x。(2)若，求。(3)若，求，.=2x3yyx12yxa+bb=65aba-bb6.已知线段a=4cm，b=9cm，则线段a、b的比例中项c=cm.6现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？A’B’C’ABC比如，量得树AB的影长BC=20m，木杆长A’B’=1.5m，影长B’C’=2.5m,求:树AB的高解:在相同时刻的物高与影长成比例∴ABBC=A'B'B'C'即AB20=1.52.5∴AB=35×20=12(m)答:树AB的高为12米mnm=n56已知,求的值.解:方法(1)由对调比例式的两内项比例式仍成立得：mn65=方法(2)因为,所以5m=6nm6n5=mn=所以试一试１，如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，找出图中的一组比例线段（用小写字母表示）并说明理由．ＥＢBCDFABDE,dcbaＦＤＣＡ.___________,43,9731====zyxyzyxzyxzyx则41197._______32,3:4:22222==yxyxyxyyx则已知，51156已知1,2,3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。△ABC∽△A′B′C′,如果BC=3,B′C′=1.5,那么△A′B′C′与△ABC的相似比为_________.1.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。2.相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。213.相似三角形的判定方法预备定理:相似三角形的传递性.ABCDEDEABC判定定理1,2,3.△1∽△2△2∽△3或△2≌△3△1∽△3∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC.直角三角形相似的判定.DCBA求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.已知：∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D相似三角形基本图形的回顾：现在给你一个锐角三形ABC和一条直线MN问题：请同学们利用直线MN在△ABC上或在边的延长线作出一个三角形与△ABC相似，并请同学们说明理由ABCMN第一种作法：理由：（1）DE∥BC（2）∠ADE=∠B或∠AED=∠C（3）AD：AB=AE：AC第二种作法：理由：（1）∠ADE=∠C或∠AED=∠B（2）AE：AB=AD：ACAEBCDADEBCM第三种作法：理由：（1）DE∥BC（2）∠ADE=∠B或∠AED=∠C（3）AD：AB=AE：AC第四种作法：理由：（1）∠ADE=∠C或∠AED=∠B（2）AE：AB=AD：ACABCEDABCEDMNMN第五种作法：理由：（1）DE∥BC（2）∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（3）AD：AB=AE：AC第六种作法：理由：（1）∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC（2）AE：AB=AD：ACABCABCDEMNMDEN第七种作法：（1）∠ACD=∠B（2）∠ADC=∠ACB（3）AD：AC=AC：ABABDCMNADEBABABCD△ADE绕点A旋转DCADEBCABCDEBCADE点E移到与C点重合∠ACB=Rt∠CD⊥AB相似三角形基本图形的回顾：证明：∵CD⊥AB，E为AC的中点∴DE=AE∴∠EDA=∠A∵∠EDA=∠FDB∴∠A=∠FDB∵∠ACB=Rt∠∴∠A=∠FCD∴∠FDB=∠FCD∵△FDB∽△FCD∴BD：CD=DF：CF∴BD·CF=CD·DF例1如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F。CEADFB这个图形中有几个相似三角形的基本图形求证：BD·CF=CD·DF二.知识应用:1.找一找:(1)如图1,已知:DE∥BC,EF∥AB,则图中共有_____对三角形相似.(2)如图2,已知:△ABC中,∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC相似.ABCDEF如图(1)3EABCD如图(2)4(3)如图3，∠1=∠2=∠3,则图中相似三角形的组数为________.4ADBEC132如图(3)(4)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,则图中共有_____对三角形相似.·ABCDEO(5)已知:四边形ABCD内接于⊙O,连结AC和BD交于点E,且AC平分∠BAD,则图中共有_____对三角形相似.·ABCDEO1234622.画一画:如图,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=700,∠B=500,∠E=300,画直线a,把△ABC分成两个三角形,画直线b,把△DEF分成两个三角形,使△ABC分成的两个三角形和△DEF分成的两个三角形分别相似.(要求标注数据)300300CAB700500EDF700300abCAB700500EDF700300ab200200OP1P2D1D2c1c2b1b2①②桌面(1).如图,在水平桌面上的两个“E”,当点P1,P2,O在一条直线上时,在点O处用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同.①图中b1,b2,c1,c2应满足怎样的关系?②若b1=3.2cm,b2=2cm,①号“E”测试的距离c1=8m,要使测得的视力相同,①号“E”测试的距离c2应为多少?3.做一做:(2).已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=900,对角线BD⊥CD求证:(1)△ABD∽△DCB;(2)BD2=AD·BCABCD(3).如图,P是△ABC中AB边上的一点,要使△ACP和△ABC相似,则需添加一个条件:_____________________________________。ABCP∠ACP=∠B;或∠APC=∠ACB;或AP:AC=AC:AB即AC2=AP·AB如图,点C,D在线段AB上,△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足什么关系时,△ACP∽△PBD.(2)当△ACP∽△PBD时,求∠APB的度数.4.想一想:ABCDP5.练一练:1.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等)______________.GABCDEF12.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE的形状相同。EABCDMN3.在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，－3）,C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________.y·ABCx··O·P.如图,△ABC中,AB=6,BC=4,AC=3,点P在BC上运动,过P点作∠DPB=∠A,PD交AB于D,设PB=x,AD=y.(1)求y关于x的函数关系式和x的取值范围.(2)当x取何值时,y最小,最小值是多少?6.思考题:PABCD4.相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。1.地图上的1cm²面积表示实际200m²的面积，则该地图的比例尺是__________.2.两个相似三角形的面积比为m,周长比为2,则m²=________.163.边长为2的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分,其中一部分是梯形,则这个梯形的中位线长为_______.222１、如图（６），△ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________２、如图（７），ＢＣ是⊙Ｏ的直径，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ，已知ＡＤ＝２，ＢＤ＝１，则⊙Ｏ的半径长是____答案：１：３：５答案：２.５例1如图，△ABC中，FM∥AB，EH∥BC，DG∥AC，AD:DE:EB=3:2:1,求的值。PGFPDEHMPSSS::易证，△HMP∽△PDE∽△GPF，得CHPGMFADEBPGFPDEHMPSSS::1:4:9::222==EBDEAD例2如图，已知EMAM，交AC于D，CE=DE，求证：2EDDM=ADCD。ECDMAECDMAFG结论成立。由条件得是可得又知，使到，可延长要得出），（还应考虑系数积的形式转化成比例式成立，应把证法一：要证,,,,2,222FCDAMDRtCDFEFDECEDEEFFDEEDDMCDADEDCDADDMED=====∽故结论成立。，由题易证得即只需证明性质，得，根据等腰三角形的作证法二：过点DAMDEGDMADDGEDDMADCDEDDGCDCDEGE===,2,2∽例3如图，已知：DE∥BC，DC和BE相交于P点，连结AP交DE于M，延长AP交BC于N点，求证：DM=ME，BN=NC。AMPDEBNCADMBCDEEMDM=推得由，需利用中间比过渡，要证,//∽ABADBNDMABN=得,BNMEPBEPPBEPBCDEBCDEABAD===,,同理可证MEDMBNMEBNDM==,同理可证：BN=NC例4如图，在△ABC中，C=90°，CDAB，D为垂足，求证：222111CDBCAC=CADBBDADCDBDABBCADABAC===222,,由射影定理得，222111111CDBDADBDADABBDADBDABADABBCAC====CDABE的两个根，求DE的长和的值。例5如图，△ABC中，C=90°，AC=10，BC=24，点D在AC上运动（不运动至点A），过点D作DEAB，设AD=x，AE=y。（1）求y关于x的函数关系式和自变量的取值范围；（2）若点D运动到AC上有某个位置时，AD、AE的长恰好是一元二次方程062=atta(1)由题意知，易得ABC∽ADE,得y与x的函数关系式。100135=xxyABC2∽==242610DExyADE,24260,243622DExyDEyx==的两个根，的长恰好是方程06,2=attAEAD965,4==aDEABEBEEFADEABCD求证：，的中点，是中，如图，正方形.1∽EBFABCDFE的面积最大。何处时，在的函数解析式，