华中科技大学矩阵论样题

—1—华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称：课程类别考核形式学号__________________姓名________________院系_______________考试日期一、判断题：（2×6=12分）（1）线性空间R3中的正交投影是正交变换。（2）如果g()=(-2)(-5)2是矩阵A的化零多项式，即g(A)=0，则2和5是矩阵A的特征值.（3）设A为n阶方阵，矩阵函数f(A)有意义，如果A相似于对角矩阵，则f(A)也相似于对角矩阵.（4）如果矩阵运算A，则矩阵A=0或者B=0（5）如果矩阵A既有左逆又有右逆，则矩阵A一定是方阵，且为可逆矩阵。（6）对于矩阵A和矩阵A+的秩,有rank（A）=rank（A+）二、填空题：（每个空3分，共27分）（答案请填在每题横线标定的位置上）(1)设矩阵i32212i323i211A，其中1i，则A.（2）线性空间AARAWT44的维数，dimW=(3)设2-031A，矩阵B的特征值为2,3,4，则矩阵AB的特征值为.（4）设线性空间R3中的线性变换T被定义为绕向量e2=[010]T，逆时针旋转一个角的旋转变换，则变换T的一个二维不变子空间是.（5）设矩阵A的UV分解为2005207211-46033005A,则矩阵A的LDV分解为.（6）设函数矩阵tt01tA3）（,则dt(t))d(A1=三、（12分）设P为R3中的正交投影，P将空间R3中的向量投影到平面上，}0z-yxzyx{T,求P在线性空间R3的自然基{e1,e2,e3}下的变换矩阵A.四、（15分）□公共课□专业课□开卷□闭卷√√矩阵论—2—设矩阵0121-211-13A，（1）求可逆矩阵P和矩阵A的Jordan矩阵JA，使得P1AP=JA，（2）设参数t0,求矩阵函数eAt和矩阵eAt的Jordan矩阵AteJ.五、（15分）设矩阵1-11111B，（1）求矩阵A的奇异值分解（2）求A+六、（15分）设矩阵t021-A，01-2-1B，3-231D，矩阵方程为AX+XB=D，（1）讨论t为何值,矩阵方程有唯一解.（2）在矩阵方程有唯一解时,求解其中的未知矩阵X.七、证明题（6分+7分=13分）（1）假设nnCA并且A2=A，证明N(A)R(A)Cn，其中R(A)和N(A)分别是矩阵A的列空间和零空间(6分)（2）如果矩阵A是正规矩阵,且矩阵函数f(A)有意义,证明f(A)也是正规矩阵.(6分)（3）（4）(7分)假设nnCA是可逆的，证明：其中，分别为的最大和最小的奇异值.—3——4—三、（15分）设矩阵3100110000530031A,求矩阵A的Jordan标准型JA和可逆矩阵P,使得P1AP=JA.—5—四、（15分）设线性方程组AX=b表示如下:312312111xxxxxx（1）求A的满秩分解;（2）计算A+（3）求该方程组的最佳最小二乘解。—6—五、（15分）设非零列向量，Rn，n2，A=TRnn,tr(A)表示矩阵A的迹（1）求矩阵A的特征值.（2）证明A的最小多项式是m()=2tr(A)（3）写出矩阵A的Jordan标准型.—7—六、证明题：（共13分:第1题5分,第2题8分）（1）设A是n阶方阵,(A)是矩阵A的谱半径,证明:如果1)(A,则0limkkA.（2）设A为mn阶矩阵，B为nk阶矩阵，R(A)和R(AB)分别表示矩阵A和矩阵AB的列空间，证明R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在kn阶矩阵C,使得ABC=A。—8—华中科技大学研究生课程考试草稿纸课程名称：课程类别考核形式学生类别考试日期2014.12.18学生所在院系_______________学号__________________姓名__________________□公共课□专业课□开卷□闭卷√√矩阵论—9—华中科技大学研究生课程考试答题纸课程名称：矩阵论课程类别考核形式学生类别硕士考试日期2014.12.18学生所在院系_______________学号__________________姓名__________________题号一二三四五六总分得分题号答题部分得分华中科技大学研究生课程考试答题纸□公共课□专业课□开卷□闭卷√√—10—题号答题部分得分华中科技大学研究生课程考试答题纸题号答题部分得分—11—华中科技大学研究生课程考试答题纸题号答题部分得分—12—华中科技大学研究生课程考试答题纸题号答题部分得分—13—华中科技大学研究生课程考试答题纸题号答题部分得分—14—华中科技大学研究生课程考试草稿纸