简单多面体的外接球问题--解析版

简单多面体的外接球问题1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝_____，即球的表面积等于它的大圆面积的倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝_____.3.球的性质1.用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去截球面，截线是圆。大圆--截面过球心,半径等于球半径;小圆--截面不过球心A2.球心和截面圆心的连线垂直于截面2223.dRrRrd球心到截面的距离与球的半径及截面圆的半径的关系：4.多面体的外接球定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。2．若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是()A.C24πB.C22πC.C2πD．2πC2解析：选C由2πR＝C，得R＝C2π，∴S球面＝4πR2＝C2π.3．若一个球的直径是10cm，则它的体积为________cm3.解析：由题意知其半径为R＝102＝5(cm)，故其体积为V＝43πR3＝43×π×53＝5003π(cm3)．答案：5003π球的体积与表面积[典例](1)球的体积是32π3，则此球的表面积是()A．12πB．16πC.16π3D.64π3(2)一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是半径为1的圆，且这个几何体是实心球体的一部分，则这个几何体的表面积为________．[解析](1)设球的半径为R，则由已知得43πR3＝32π3，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.(2)由已知可得，该几何体是四分之三个球，其表面积是四分之三个球的表面积和两个半径与球的半径相等的半圆的面积之和．因为R＝1，所以S＝34×4×π×12＋2×12×π×12＝4π.[答案](1)B(2)4π求球的体积与表面积的方法(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．(2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．(3)由三视图计算球或球与其他几何体的组合体的表面积或体积，最重要的是还原组合体，并弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义．根据球与球的组合体的结构特征及数据计算其表面积或体积．此时要特别注意球的三种视图都是直径相同的圆．[活学活用]某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．解析：由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面与截面面积的和，即12×4π×12＋π×12＝3π.答案：3π球的截面问题[典例]如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3B.866π3cm3C.1372π3cm3D.2048π3cm3[解析]如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝12AB＝12×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5.∴V球＝43π×53＝5003π(cm3)．[答案]A球的截面问题的解题技巧(1)有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．(2)解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.[活学活用]一平面截一球得到直径为25cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是()A．12πcm3B．36πcm3C．646πcm3D．108πcm3解析：选B设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，则OO1垂直于截面圆O1，如图所示．在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝22＋52＝3(cm)，∴球的体积V＝43×π×33＝36π(cm3)．与球有关的组合问题题点一：球的外切正方体问题1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3B.2π3C.3π2D.π6解析：选A由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π3.题点二：球的内接长方体问题2．一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为______．解析：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即2R＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积S＝4πR2＝14π.答案：14π题点三：球的内接正四面体问题3．若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．解：把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为x，则a＝2x，由题意2R＝3x＝3×2a2＝62a，∴S球＝4πR2＝64aπ＝32aπ.题点四：球的内接圆锥问题4．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______．解析：如图所示，设球半径为r，则球心到该圆锥底面的距离是r2，于是圆锥的底面半径为r2－r22＝3r2，高为3r2.该圆锥的体积为13×π×3r22×3r2＝38πr3，球体积为43πr3，∴该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr343πr3＝932.答案：932题点五：球的内接直棱柱问题5．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.73πa2C.113πa2D．5πa2解析：选B由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝23×32a＝33a，OP＝12a，所以球的半径R＝OA满足R2＝33a2＋12a2＝712a2，故S球＝4πR2＝73πa2.(1)正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝a2，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．(2)长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a，b，c，则过球心作长方体的对角面有球的半径为r2＝12a2＋b2＋c2，如图(2)．(3)正四面体的外接球正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为：2R＝62a.ABCDD1C1B1A1OA1AC1CO对角面正方体外接球的直径等于正方体的体对角线。正方体的外接球2a23Ra长方体的外接球对角面长方体外接球的直径等于长方体体对角线设长方体的长、宽、高分别为a、b、c22ab2222Rabc两招搞定简单多面体外接球问题ACBPO一、构造法例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是39构造正方体或长方体2.2,1,,ABCDOABBCDABBDCDBDCD例已知三棱锥的顶点都在球的球面上，且面，则球O的体积为34ABCDOABCDO求正四面体外接球的半径求正方体外接球的半径例3.求棱长为a的正四面体D–ABC的外接球的表面积。64Ra232a29思考总结：什么样的三棱锥可构造成正方体或长方体？三条侧棱两两垂直的三棱锥二、确定球心位置法01,BDABCDABCDABCD变式题：如图，棱形的边长为且BAD=60,沿对角线将棱形折成直二面角A-BD-C,则三棱锥外接球的表面积为例5.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为将“直二面角”改为“二面角”结果？12565303,1,2,60,A.64.16.12.4SABCABACBACOBCD例6.(安顺市二模)已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2则球的表面积为()OOB163O1O什么样的三棱锥外接球球心好确定？上下底面中心的连线的中点3（贵州省2016适应性考试）已知正三棱柱的体积为3，所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积的最小值为在其高上例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积．681．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为()2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为()3．某几何体的三视图如图所示，它的体积为()课堂跟踪检测4．等体积的球和正方体的表面积S球与S正方体的大小关系是()5．球的表面积S1与它的内接正方体的表面积S2的比值是()6．已知正方体的棱长为2，则与正方体的各棱都相切的球的表面积是________．7．球内切于正方体的六个面，正方体的棱长为a，则球的表面积为________．8．圆柱形容器的内壁底半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为________cm2.9．一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个圆面的距离是4cm，则该球的体积是()10.已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．11．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是π，那么这个三棱柱的体积是________．12．轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1cm，求球的体积．13．在半径为15的球O内有一个底面边长为12根号3的内接正三棱锥ABCD，求此正三棱锥的体积．小结：1.正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置3.求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法2.棱长为a的正四面体外接球半径a46谢谢!