线面垂直的判定和性质定理习题课

线面垂直的判定和性质定理（习题课）A组1C2B3D4D5C6③7①②8a或2a9(2)d＝105.10(2)V＝3(3)64B组1D2①②③3(2)433(3)32A组基础训练一、选择题1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直【解析】如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．【答案】C2．已知两个平面垂直，下列命题：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线．②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线．③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题的个数是()A．3B．2C．1D．0【解析】根据面面垂直的性质定理知，命题④正确；两平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线，故命题②正确，命题①③错误．【答案】B3．(2013·广东高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.【答案】D图7－5－104．(2014·大连模拟)如图7－5－10，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是()A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AC.其中SD∩BD＝D，∴AC⊥面SDB，从而AC⊥SB.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为∠ASO，SC与平面SBD所成的角为∠CSO，又OA＝OC，SA＝SC，∴∠ASO＝∠CSO.故C正确；由排除法可知选D.【答案】D5．(2014·郑州模拟)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β【解析】C中，当m∥α，m∥n时，有n∥α或n⊂α，当n⊥β时，有α⊥β，故C正确．【答案】C二、填空题图7－5－116．如图7－5－11，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的有________(填序号)．①平面ABC⊥平面ABD；②平面ABD⊥平面BCD；③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.【解析】由AB＝CB，AD＝CD知AC⊥DE，AC⊥BE，从而AC⊥平面BDE，故③正确．【答案】③图7－5－127．如图7－5－12，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是________(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB.【解析】取AE的中点F，连接MF，NF，则MF∥DE，NF∥AB∥CE，从而平面MFN∥平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；又AE⊥MF，AE⊥NF，所以AE⊥平面MFN，从而AE⊥MN，②正确；又MN与AB是异面直线，则③错误．【答案】①②图7－5－138．如图7－5－13，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.【解析】∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D，∴为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)，设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.【答案】a或2a三、解答题图7－5－149．(2013·江西高考)如图7－5－14，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝2，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C1C；(2)求点B1到平面EA1C1的距离．【解】(1)证明过点B作CD的垂线交CD于点F，则BF＝AD＝2，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝3.在Rt△CFB中，BC＝6.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD，得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C1C.(2)连接B1E，则三棱锥E－A1B1C1的体积V＝13AA1·S△A1B1C1＝2.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝A1D21＋D1C21＝32.同理，EC1＝EC2＋CC21＝32，A1E＝A1A2＋AD2＋DE2＝23，故S△A1C1E＝35.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1－EA1C1的体积V＝13·d·S△EA1C1＝5d，从而5d＝2，d＝105.图7－5－1510．(2014·青岛模拟)在如图7－5－15所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，且AC＝AD＝CD＝DE＝2，AB＝1.(1)请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；(2)求多面体ABCDE的体积；(3)求直线EC与平面ABED所成角的正弦值．【解】(1)如图，由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥ED，设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，连接FH，则FH綊12ED，∴FH綊AB，∴四边形ABFH是平行四边形，∴BF∥AH，由BF⊄平面ACD内，AH⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD；(2)取AD中点G，连接CG.AB⊥平面ACD，∴CG⊥AB又CG⊥AD，∴CG⊥平面ABED，即CG为四棱锥的高，CG＝3，∴VC－ABED＝13·（1＋2）2·2·3＝3.(3)连接EG，由(2)有CG⊥平面ABED，∴∠CEG即为直线CE与平面ABED所成的角．在Rt△CEG中，sin∠CEG＝CGCE＝322＝64.B组能力提升1．如图7－5－16所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD.则在三棱锥A—BCD中，下列命题正确的是()图7－5－16A．AD⊥平面BCDB．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB，又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】D图7－5－172．如图7－5－17所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．【解析】由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．【答案】①②③图7－5－183．(2013·浙江高考)如图7－5－18，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点．(1)证明：BD⊥平面APC；(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值；(3)若G满足PC⊥平面BGD，求PGGC的值．【解】(1)证明设点O为AC，BD的交点．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是线段AC的中垂线，所以O为AC的中点，BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD.所以BD⊥平面APC.(2)连接OG.由(1)可知，OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD是DG与平面APC所成的角．由题意得OG＝12PA＝32.在△ABC中，AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝4＋4－2×2×2×－12＝23，所以OC＝12AC＝3.在直角△OCD中，OD＝CD2－OC2＝7－3＝2.在直角△OGD中，tan∠OGD＝ODOG＝433.所以DG与平面APC所成的角的正切值为433.(3)因为PC⊥平面BGD，OG⊂平面BGD，所以PC⊥OG.在直角△PAC中，PC＝PA2＋AC2＝3＋12＝15，所以GC＝AC·OCPC＝23×315＝2155.从而PG＝3155，所以PGGC＝32.