高一数学函数知识总结及例题

第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设y=f(u)的定义域为A，u=g(x)的值域为B，若AB，则y关于x函数的y=f［g(x)］叫做函数f与g的复合函数，u叫中间量.二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知fx()的定义域，求fgx()的定义域思路：设函数fx()的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又f对gx()作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为fgx()的定义域。例1.设函数fu()的定义域为（0，1），则函数fx(ln)的定义域为_____________。解析：函数fu()的定义域为（0，1）即u()01，，所以f的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以01lnx解得xe()1，，故函数fx(ln)的定义域为（1，e）例2.若函数fxx()11，则函数ffx()的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由fxx()11，知x1即f的作用范围为xRx|1，又f对f(x)作用所以fxRfx()()且1，即ffx()中x应满足xfx11()即xx1111，解得xx12且故函数ffx()的定义域为xRxx|12且（2）、已知fgx()的定义域，求fx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以xEE，为fx()的定义域。例3.已知fx()32的定义域为x12，，则函数fx()的定义域为_________。解析：fx()32的定义域为12，，即x12，，由此得3215x，所以f的作用范围为15，，又f对x作用，作用范围不变，所以x15，即函数fx()的定义域为15，例4.已知fxxx()lg22248，则函数fx()的定义域为______________。解析：先求f的作用范围，由fxxx()lg22248，知xx2280解得x244，f的作用范围为()4，，又f对x作用，作用范围不变，所以x()4，，即fx()的定义域为()4，（3）、已知fgx()的定义域，求fhx()的定义域思路：设fgx()的定义域为D，即xD，由此得gxE()，f的作用范围为E，又f对hx()作用，作用范围不变，所以hxE()，解得xF，F为fhx()的定义域。例5.若函数fx()2的定义域为11，，则fx(log)2的定义域为____________。解析：fx()2的定义域为11，，即x11，，由此得2122x，f的作用范围为122，又f对log2x作用，所以log2122x，，解得x24，即fx(log)2的定义域为24，评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变。利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨。三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数))((xgfy.若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.证明：在区间ba,(）内任取两个数21,xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg,记)(11xgu,)(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21ufuf,即))(())((21xgfxgf，故函数))((xgfy在区间ba,(）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：)(ufy增↗减↘)(xgu增↗减↘增↗减↘))((xgfy增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数))((xgfy的单调性判断步骤：ⅰ确定函数的定义域；ⅱ将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xgu。ⅲ分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((xgfy为减函数。（4）例题演练例1、求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明奎屯王新敞新疆解：定义域130322xxxx或单调减区间是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy)32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)((1212xxxx∵312xx∴012xx0212xx∴)32(121xx)32(222xx又底数1210∴012yy即12yy∴y在),3(上是减函数奎屯王新敞新疆同理可证：y在)1,(上是增函数奎屯王新敞新疆