线面垂直的性质定理习题含详细答案

直线与平面垂直的性质1.了解用反证法证明直线与平面垂直的性质定理的证明过程.2.理解直线与平面垂直的性质定理.3.掌握直线与平面垂直的性质定理的应用以及“平行”与“垂直”之间的相互转化.1.本课重点是直线与平面垂直的性质定理及其应用.2.本课难点是利用线面垂直的判定和性质定理进行证明时的“平行”与“垂直”之间的相互转化.直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一平面的两条直线______.(2)符号语言：(3)图形语言：(4)作用：①线面垂直⇒__________；②作平行线.平行a⊥αb⊥α⇒______.a∥b线线平行1.垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗？提示：共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.2.三角形的两边可以垂直于同一个平面吗？提示：不可以.若垂直于同一个平面，则这两条边平行，不能构成三角形.3.过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且只有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由两条直线均与同一平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，应无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线.4.垂直于同一条直线的两个平面的位置关系是_____.【解析】垂直于同一条直线的两个平面互相平行，可由两个平面平行的判定定理推得.答案：平行剖析直线与平面垂直的性质定理(1)该定理考查的是在直线与平面垂直的条件下，可得出什么结论.(2)定理给出了判定两条直线平行的另一种方法(只要判定这两条直线都与同一个平面垂直).(3)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.(4)定理的推证过程采用了反证法.对直线与平面垂直的性质定理的理解【技法点拨】1.直线与平面垂直的性质定理的作用(1)直线与平面垂直的性质定理阐明了在两条直线均与同一平面垂直的条件下，可得出直线与直线平行的结论.(2)该定理可用来判定两直线平行，揭示了“平行”与“垂直”这两种特殊位置关系之间的转化.2.三个常见结论(1)若两条平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面.(2)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(3)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.【典例训练】1.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则不重合的直线l，m的位置关系是()(A)相交(B)异面(C)平行(D)不确定2.若a,b表示直线(不重合)，α表示平面，有下列说法：①a⊥α,b∥α⇒a⊥b;②a⊥α,a⊥b⇒b∥α;③a∥α,a⊥b⇒b⊥α;④a⊥α,b⊥α⇒a∥b.其中正确的序号是_______.【解析】1.选C.∵直线l⊥AB,l⊥AC,且AB∩AC=A,∴l⊥平面α，同理直线m⊥平面α.由线面垂直的性质定理可得l∥m.2.由线面垂直的定义及性质定理可知，①④正确；②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交但不垂直，也可能平行，故③不正确.答案：①④线面垂直的性质定理的应用【技法点拨】证明线线平行的方法(1)在平面内证明线线平行的方法①三角形、梯形中位线的性质.②平行四边形对边平行的性质.③平行线分线段成比例的性质.④两直线平行的判定(如两直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行).(2)空间中两直线平行的判定①线线平行的定义：证共面且无公共点.②平行公理.③线面平行的性质定理.④面面平行的性质定理.⑤线面垂直的性质定理.【典例训练】1.设l是直线，α，β是两个不同的平面()(A)若l∥α,l∥β，则α∥β(B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β(C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β(D)若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.如图所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F为BE的中点.求证：DF∥平面ABC.【解析】1.选B.若l∥α,l∥β，则α,β可能相交故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若α⊥β,l∥α则l与β关系不确定，故D错．2.解题流程：线线平行线面垂直线线平行线面平行取AB的中点G，连接FG、GC，则FG为△BEA中位线，∴FG∥AE.∵AE⊥平面ABC，FG∥AE，∴FG⊥平面ABC.∵FG⊥平面ABC,CD⊥平面ABC，∴FG∥CD，又FG=AE=CD=a，∴四边形CDFG为平行四边形，FD∥CG.12∵FD∥CG,CG⊂平面ABC，∴DF∥平面ABC.AGBCDEF【思考】解答题1，2的关键是什么？提示：(1)解答题1的关键是利用题中的垂直关系证得a与l垂直于同一个平面.(2)解答题2的关键是在平面ABC中找一直线与直线DF平行.线面垂直的性质的综合应用【技法点拨】线面垂直与平行的相互转化(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、直线与直线平行可以相互转化.每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的的.(2)转化关系：线线垂直线面垂直线线平行判定定理定义性质定理定理【典例训练】1.(2012·浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面()(A)若l∥α,l∥β，则α∥β(B)若l∥α，l⊥β，则α⊥β(C)若α⊥β,l⊥α,则l⊥β(D)若α⊥β,l∥α,则l⊥β2.如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.(1)求证：D1C⊥AC1;(2)设E是DC上的一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由.【解析】1.选B.若l∥α,l∥β，则α,β可能相交，故A错；若l∥α，则平面α内必存在一直线m与l平行，又l⊥β，则m⊥β，又m⊂α，故α⊥β,故B对；若α⊥β,l⊥α,则l∥β或l⊂β,故C错;若α⊥β,l∥α，则l与β关系不确定，故D错．2.(1)连接C1D,∵DC=DD1,∴四边形DCC1D1是正方形,∴DC1⊥D1C.∵AD⊥DC,AD⊥DD1,DC∩DD1=D,∴AD⊥平面DCC1D1.又D1C⊂平面DCC1D1,∴AD⊥D1C.又AD∩DC1=D,∴D1C⊥平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)如图，连接AD1,AE,D1E,设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN.∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，需使MN∥D1E，又M是AD1的中点，∴N是AE的中点，又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE.即E是DC的中点.综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD.ABCDNEMB1C1D1A1【规范解答】线面垂直证线线平行【典例】(12分)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点.【解题指导】【规范解答】(1)∵ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.………………………………………………………………1分又∵CD⊥平面ADD1A1①，∴CD⊥AD1.……………………3分∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面A1DC.②………………………………………4分又MN⊥平面A1DC,∴MN∥AD1.……………………………6分(2)连接ON，在△A1DC中，A1O=OD，A1N=NC，∴ONCDAB,∴ON∥AM.…………………………8分又∵由(1)可知MN∥OA③，∴四边形AMNO为平行四边形,∴ON=AM.∵ON=AB,∴AM=AB,………11分∴M是AB的中点.…………………12分12//12//1212【规范训练】(12分)在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于E，l⊥平面PCD，求证：l∥AE.【解题设问】(1)本题给出的条件中都有哪几类垂直关系？___________________.(2)若证线线平行，可利用的根据是什么？只要证得_____________,利用________________定理,即可证明l∥AE.线面垂直和线线垂直AE⊥平面PCD线面垂直的性质【规范答题】∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.………………………………………………4分又CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD.又∵AE⊂平面PAD，∴AE⊥DC.………………………………………………8分又∵AE⊥PD，PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD.又∵l⊥平面PCD，∴AE∥l.……………………………12分1.直线l垂直于平面α，m⊂α，则有()(A)l∥m(B)l和m异面(C)l和m相交(D)l和m不平行达标训练2.已知l与m是两条不同的直线，且直线l⊥平面α，①若直线m⊥l，则m∥α；②若m⊥α，则m∥l；③若m⊂α，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥α.上述判断正确的是()(A)①②③(B)②③④(C)①③④(D)②④3.点P到平面四边形ABCD四个顶点的距离相等，则四边形ABCD是()(A)某圆的内接四边形(B)某圆的外切四边形(C)正方形(D)任意四边形4.菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是_____.5．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且AB∥CE.求证：CE⊥平面PAD.