立体几何综合应用

高三数学第一轮复习教学案【课题】：立体几何综合应用教学目标：知识与技能：灵活运用立体几何的公理，定理证明有关的平行与垂直；学会计算有关几何体的面积与体积过程与方法：学教结合，以学生训练为主情感态度价值观：培养学生的空间相象能力及运算能力，体现数学源于生活的思想教学重点：平行与垂直的证明教学难点：平行与垂直的证明及体积的计算一：基础训练1.已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b其中正确命题的序号有________①④2.给出四个命题：①线段AB在平面内，则直线AB不在内；②两平面有一个公共点，则一定有无数个公共点；③三条平行直线共面；④有三个公共点的两平面重合.其中正确命题的个数为3.已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的_____________必要不充分条件4.三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．3＋35．已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC的面积分别为1.5cm2，2cm2，6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为26πcm2．6.一个正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的表面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_____________107.一根细金属丝下端挂着一个半径为lcm的金属球，将它浸没在底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球全部被提出水面时，容器内的水面下降的高度是__31___cm8.如图，ABC中，90C，30A，1BC．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N），则图中阴影部分绕直线AC旋转一周所得旋转体的体积为图甲ADBCP图乙ADBCPEFNFMEADBCPHGDCABFEPQ二：典型例题例1．如图,ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB＝4a，BC＝CF＝2a，P为AB的中点.（Ⅰ）求证：平面PCF⊥平面PDE；（Ⅱ）求四面体PCEF的体积.解：（Ⅰ）因为ABCD为矩形，AB＝2BC,P为AB的中点，所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC＝45°.同理可证∠APD＝45°.所以∠DPC＝90°，即PC⊥PD.又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE.因为DEPD＝D，所以PC⊥PDE.又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE.（Ⅱ）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以DE∥CF.又DC⊥CF，所以211424.22CEFSDCCFaaa在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则PQ∥BC，PQ＝BC＝2a.因为BC⊥CD，BC⊥CF，所以BC⊥平面PCEF，所以PQ⊥平面DCEF，亦即P到平面DCEF的距离为PQ＝2a.2311842.333PCEFPCEFCEFVVPQSaaa（注：本题亦可利用31863PCEFBCEFEBCFDBCFVVVVDCBCCFa求得）例2．如图甲，在直角梯形PBCD中，PB∥CD，CD⊥BC，BC＝PB＝2CD，A是PB的中点.现沿AD把平面PAD折起，使得PA⊥AB（如图乙所示），E、F分别为BC、AB边的中点.（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求证：平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）在PA上找一点G，使得FG∥平面PDE.解：（Ⅰ）证明：因为PA⊥AD,PA⊥AB,ABAD＝A，所以PA⊥平面ABCD.（Ⅱ）证明：因为BC＝PB＝2CD,A是PB的中点，所以ABCD是矩形，又E为BC边的中点，所以AE⊥ED.又由PA⊥平面ABCD,得PA⊥ED,且PAAE＝A,所以ED⊥平面PAE，而ED平面PDE，故平面PAE⊥平面PDE.（Ⅲ）过点F作FH∥ED交AD于H，再过H作GH∥PD交PA于G,连结FG.由FH∥ED,ED平面PED,得FH∥平面PED；FFC1D1B1A1CDABEF例3．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1；（Ⅲ）如果AB＝1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由.解（Ⅰ）证明：连结BD.在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1.又E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD.∴EF∥B1D1.又B1D1平面CB1D1，EF平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1.（Ⅱ）证明：在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1.又在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1.又B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（Ⅲ）解：最小值为23.如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为23.三：当堂反馈1．已知平面,和直线m，给出条件：①//m；②m；③m；④,⑤//.（i）当满足条件时，有//m；（ii）当满足条件时，有m.(填上条件的序号)③⑤②⑤2．如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S，那么圆柱的体积等于S4Sπ作业卷1．“a、b是异面直线”是指：①,,abab平面平面且；②ab且,ab不平行③,,ab且；④,ab；⑤不存在平面使,.ab且；上述说法中，正确的是（填序号）________．②和⑤2．.已知三条不重合的直线两个不重合的平面，有下列命题：①若||,mnn，则||m；②若,lm，且||lm，则||；③若,,||,||,mnmn则||；④若,,,mnnm，则n。其中正确的序号为②④3．一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长分别为1，2，3，则这个三棱锥的外接球的体积为____________4．已知一正方体的棱长为m，表面积为n；一球的半径为,p表面积为q，若2mp，则nq=65．将一个边长为6和8的矩形纸片卷成一个圆柱，则圆柱的底面半径为．3或46．有一根长为4cm，底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则这段铁丝的最短长度为_.22497．正四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB=3，BB1=4.长为1的线段PQ在棱AA1上移动，长为3的线段MN在棱CC1上移动，点R在棱BB1上移动，则四棱锥R–PQMN的体积是6ABCDD1A1C1B1QPMNR8．．(本小题满分12分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB、A1B1分别为圆O、圆O1的直径且A1A⊥平面PAB.(1)求证：BP⊥A1P；(2)若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A1－APB的体积．解：(1)证明：易知AP⊥BP，由AA1⊥平面PAB，得AA1⊥BP，且AP∩AA1＝A，所以BP⊥平面PAA1，故BP⊥A1P.(2)由题意V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝23，∴S△PAB＝12×2×23＝23，∴三棱锥A1－APB的体积V＝13S△PAB·AA1＝13×23×3＝23.9．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD＝PA＝2，CD＝22，E、F分别是AB、PD的中点．(1)求证：AF∥平面PCE；(2)求证：平面PCE⊥平面PCD；(3)求四面体PEFC的体积．解：(1)证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG綊12CD，AE綊12CD∴FG綊AE，∴AF∥GE∴GE⊆平面PEC，∴AF∥平面PCE；(2)证明：∵PA＝AD＝2，∴AF⊥PD∴PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊆平面PAD，∴AF⊥CD∵PD∩CD＝D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊆平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；(3)由(2)知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG＝AF＝2，GF＝12CD＝2，S△PCF＝12PD·GF＝2.得四面体PEFC的体积V＝13S△PCF·EG＝223.