勾股定理竞赛试题(一)

1勾股定理培优训练B1．如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A．B．C．D．2．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是（）A．B．C．2D．3．△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：①AE=CF②△EPF是等腰直角三角形③EF=AP④S四边形AEPF=S△ABC当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），则上述结论始终正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4dmB．2dmC．2dmD．4dm5．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要（）cm．A．10nB．C．D．6．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为（）A．2B．2.6C．3D．47．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为（）A．B．C．1D．8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2nD．2n+19．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（）A．B．1C．D．210．下列五个命题：（1）若直角三角形的两条边长为5和12，则第三边长是13；（2）如果a≥0，那么=a（3）若点P（a，b）在第三象限，则点P（﹣a，﹣b+1）在第一象限；（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；（5）两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中不正确命题的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个11．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm．现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm12．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．13B．19C．25D．16913．如图，矩形ABCD的边长AB=6，BC=8，将矩形沿EF折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是（）A．7.5B．6C．10D．5二．填空题14．如图，△ABD和△CED均为等边三角形，AC=BC，AC⊥BC．若BE=，则CD=．15．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则BC的长是．2DABCADABACABBC222216．已知a，b，c是直角三角形的三条边，且a＜b＜c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是．（只填序号）①a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；②b4+c2h2=b2c2；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是．17．如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，则四边形ABCD的面积是．18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点．若BE=2，AG=8，则AB的长为．三．解答题19．如图，已知AD是△ABC的高，∠BAC=60°，BC=3,AC=2，试求AB的长．20．操作发现：将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决：将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长．21．已知a，b，c为△ABC的三边长，且（++）2=3（++），试说明这个三角形是什么三角形．22．某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为6m、8m．现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．23．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB交AB于点E，且CD=AC，DF∥BC，分别与AB、AC交于点G、F．（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长．24.已知：如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高．求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)．25.已知：△ABC是钝角三角形，CD垂直BA延长线于D，求证：26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为BC和AC的中点，AD＝5，BE＝102求AB的长．327．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．28．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，求BE的长．29．如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求EC的长．30．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DE⊥DF．求证：AE2＋BF2＝EF2．1，在四边形ABCD中,已知AB=30,AD=48,BC=14,CD=40,∠ABD+∠BDC=90。,四边形ABCD的面积为.2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠CAB=300，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，则∠AEB=()．(A)500(B)450(C)400(D)3503．如图，Rt△ABC，∠C＝90°,∠B＝30°,BC＝6，D为AB中点，P为BC上一动点，连接AP、DP,则AP＋DP的最小值是4、如图，方格图中小正方形的边长为1，将方格中阴影部分5、如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（）（A）3a（B）(12)a（C）3a（D）（第3题）第5题46、某数学课外实验小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一名身高为1.5米的同学落在地面上的影子长为1.35米，因大树靠近一幢大楼，影子不会落在地面上（如图），他们测得地面部分的影子BC=3.6米，墙上影长CD=1.8米，则树高AB=米．ABDC7、一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为A、4B、34C、4或34D、28、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB长60cm，则荷花处水深OA为A、120cmB、360cmC、60cmD、cm3209、等腰三角形的底角是15°，腰长为10，则其腰上的高为___________．10、已知，如图（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD、CE分别是斜边AB上的中线和高。则下列结论错误的是（）AAB=10BCD=5CCE=245DDE=BE=5211、如图（3），在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则AF:CF=（）A．2:1B．3:2C．5:3D．7:512、如图（10）是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A.46B.47C.48D.4913、如图，已知△ABC中，∠ABC=90°,AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1,l2，l3之间的距离为3,则点B到AC的距离是14．已知一个梯形的四条边长分别为2、3、4、5，则此梯形的面积为（）A．5B．8C．3310D．351415．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC＝60°，AD＝4，CD＝10，则BD的长等于（）A.134B.38C.12D.31016．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC边上有10个不同的点1P，2P，……10P,记CPBPAPMiiii2（i＝1，2，……，10），那么1021MMM的值为（）A.4B.14C.40D.不能确定（第14题图）(第15题图)17.如图将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若FG的长为13cm，则CE的长=（）cm（A）5（B）6（C）7（D）818.如图，P为正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC＝1∶2∶3，则∠APB＝19．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，ABDCHFGE5得到△，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA等于A．0.5cmB．1cmC．1.5cmD．2cm20．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为A．152B．154C．5D．621．直角三角形三边长都是正整数，其中有一条直角边长是21，则此直角三角形的周长最小值是__________．22．正方形ABCD，正方形BEFG和正方形PKRF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为2，则△DEK的面积为（）A．4B．2C．3D．223．如图，在正方形ABCD中，BD＝BE，CE∥BD，BE交CD于F点，则∠DFE的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．90°24、如图所示，AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD，F、A、G、C、H在同一直线上，如按照图中所标注的数据及符号，则图中实线所围成的图形面积是___25．根据天气预报，某台风中心位于A市正东方向300km的点O处（如图4），正以20km/h的速度向北偏西60°方向移动，距离台风中心250km范围内都会受到影响，若台风移动的速度和方向不变，则A市受台风影响持续的时间是A．10hB．20hC．30hD．40h26．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为________．27．如图，将长为4cm宽为2cm的矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上的中点E处，压平后得到折痕MN，则线段AM的长度为__________．28．正方形ABCD的边长为4，E、F、P分别为AB、BC、DA上的点，且AE＝BE，DP＝3AP（F为动点），则EF＋FP的最小值为（）A．17B．37C．102D．以上都不对29．如图，梯形ABCD的上、下底分别为1和4，对角线AC=4BD=3，则梯形ABCD的面积为_____________.30、（本题满分7分）一次“探究性”学习课中，老师设计了如下数表：(1)请你分别观察a、b、c与n的关系，并用含自然数n(n＞1)的代数式表示：a=b=c=（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想。n2345…a22-132-142-152-1…b46810…c22+132+142+152+1…ABEKDCGFRPABEFDCCNABDEFMOA北60°东图4MABCPFDCBEADBAC631、（本题满分8分）如图，某城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD=100km．（1）台风中心经过多长时间从B移动到D点？（2）已知在距台风中心3