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第1页九年级上册第二十一章《实际问题与一元二次方程》同步练习题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．2(1−20%)(1+𝑥)=1+15%B．(1+15%)(1+𝑥)2=1−20%C．2(1+15%)(1+𝑥)=1−20%D．(1−20%)(1+𝑥)2=1+15%2．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为抢占市场份额，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（）元．A．3B．5C．2D．2.53．某机械厂七月份生产零件50万个，计划八、九月份共生产零件115.5万个，设八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A．50(1+𝑥)2=115.5B．50+50(1+𝑥)+50(1+𝑥)2=115.5C．50(1+𝑥)+50(1+𝑥)2=115.5D．50+50(1+𝑥)+50(1+2𝑥)=115.54．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=325．如图所示，AC是一根垂直于地面的木杆，B是木杆上的一点，且AB=2米，D是地面上一点，AD=3米.在B处有甲、乙两只猴子，D处有一堆食物.甲猴由B往下爬到A处再从地面直奔D处，乙猴则向上爬到木杆顶C处腾空直扑到D处，如果两猴所经过的距离相等，则木杆的长为（）A．67mB．267mC．316mD．5m6．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（）.A．8%B．9%C．10%D．11%7．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（）A．9人B．10人C．11人D．12人二、填空题8．三角形两边的长分别是8cm和15cm，第三边的长是方程x2﹣24x+119=0的一个实数根，则三角形的面积是_____．9．已知：在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，点P是BC上的一点，若∠APD=90°，则AP=_____．10．在“低碳生活，绿色出行”的倡导下，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，运动商城自2019年起自行车的销售量逐月增加．据统计，商城一月份销售自行车64辆，三月份销售了100辆，则运动商城的自行车销量的月平均增长率为_____．11．为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为_____．12．甲、乙两人同时从A地出发，骑自行车去B地，已知甲比乙每小时多走3千米，结果比乙早到0.5小时，若A、B两地相距30千米，则乙每小时_______千米.三、解答题13．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和6.05万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．(1)求该公司投递快件总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月可投递快递0.4万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？14．在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2019年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．（1）按计划，2019年前5个月至少要修建多少个沼气池？（2）到2019年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2019年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2019年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．15．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．(1)降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？(2)经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学第3页习机应降价多少元？(3)在(2)的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．第1页参考答案1．D【解析】【分析】三、四月份的月平均增长率是x，设一月份产值为a，根据题意得到二月份的产值是a（1-20%），在此基础上连续增长x，则四月份的产量是a（1-20%）（1+x）2，则根据四月份比一月份增长15%列方程即可．【详解】设一月份的产量为a，由题意可得，a(1−20%)(1+x)2=a(1+15%)，则(1−20%)(1+x)2=1+15%，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.2．A【解析】【分析】此题是一元二次方程的实际问题.设售价为x元，则每件的利润为（x-40）元，由每降价1元，可多卖20件得：降价（60-x)元可增加销量20（60-x）件，即降价后的销售量为[300+20（60-x）]件；根据销售利润=销售量×每件的利润，可列方程求解.需要注意的是在实际问题中，要注意分析方程的根是否符合实际问题，对于不合题意的根要舍去.【详解】设售价为x元时，每星期盈利为6120元，由题意得（x﹣40）[300+20（60﹣x）]=6120，解得：x1=57，x2=58，由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2=58，所以，必须降价：60-57=3（元）.故选：A【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的实际问题.解题关键点：理解题意，根据数量关系列出方程.3．C【解析】【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．【详解】依题意得八、九月份的产量为50（1+x）、50（1+x）2，∴50（1+x）+50（1+x）2=115.5．故选C．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．4．B【解析】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选：B．点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．5．B【解析】【分析】设BC=x，AC=（2+x），从题意可得到AB+AD=BC+CD可得CD=5-x，AB=2，AD=3，把数据代入DC2=AC2+AD2，可得到一元二次方程．【详解】设BC的长为x米，∵AB+AD=BC+CD，第3页∴CD=5-x，∵AC2+AD2=DC2,∴(2+x)2+32=(5-x)2，∴x=67，AC=2+67=267m．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及数形结合的思想，通过图形找到等量关系然后列方程求解．6．C【解析】分析：设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得6000（1-x）2=4860，解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．答：平均每次下调的百分率为10%．故选：C．点睛：本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．7．C【解析】【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案.【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得：12x（x-1）=55，化简得：x2-x-110=0，解得：x1=11，x2=-10（舍去），故答案为：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程.8．60cm2【解析】【分析】由因式分解法求得方程的解,进而求得三角形的第三边,利用勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形,则可求得答案.【详解】解方程x2﹣24x+119=0可得x=7或x=17，当x=7时，该三角形的三边长为8、7、15，不能构成三角形，舍去，∴三角形的第三边为17cm，∵82+152=64+225=289=172，∴该三角形为直角三角形，∴S=60（cm2），故答案为：60cm2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.9．2√5或4√5【解析】【分析】设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，分别在Rt△ABP和Rt△DCP中利用勾股定理用x表示出AP2和DP2，然后在Rt△ADP中利用勾股定理得出关于x的一元二次方程，解出x的值，即可得出AP的长．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，DC=AB=4，设BP的长为x，则CP的长为(10-x)，第5页在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2=AB2+BP2=42+x2，在Rt△DCP中，由勾股定理得：DP2=DC2+CP2=42+(10-x)2，又∵∠APD=90°，在Rt△APD中，AD2=AP2+DP2，∴42+x2+42+(10-x)2=102，整理得：x2-10x+16=0，解得：x1=2，x2=8，当BP=2时，AP=√42+22=2√5；当BP=8时，AP=√42+82=4√5．故答案为：2√5或4√5．【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理及一元二次方程，学会利用方程的思想求线段的长是关键．10．25%【解析】【分析】设运动商城的自行车销量的月平均增长率为x，根据该商城一月份、三月份销售自行车的数量，即可列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设运动商城的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得：64(1+x)2=100，解得：x1=0.25=25%，x2=-2.25（舍去）．故答案为：25%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．x（x+40）=1200．【解析】【分析】先表示出矩形场地的长，再根据矩形的面积公式即可列出方程．【详解】由题意可得，x（x+40）=1200，故答案是：x（x+40）=1200．【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，列出相应的方程．12．12【解析】【详解】设乙每小时走x千米，则甲每小时走(x+3)千米，根据题意得：30𝑥